Hoofdstuk 6 Fourier Analyse

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 154
Bewijs.
x (t + T 0 ) = a 0 +
= a 0 +
Met nω 0 T 0 = 2πn
∞∑
a n cos nω 0 (t + T 0 ) + b n sin nω 0 (t + T 0 )
n=1
∞∑
a n cos (nω 0 t + nω 0 T 0 ) + b n sin (nω 0 t + nω 0 T 0 )
n=1
x (t + T 0 ) = a 0 +
= a 0 +
= x (t)
∞∑
a n cos (nω 0 t + 2πn) + b n sin (nω 0 t + 2πn)
n=1
∞∑
a n cos (nω 0 t) + b n sin (nω 0 t)
n=1
Bepalen van de coëfficienten
Om de coëfficienten van de Fourier reeks te bepalen, beschouwt men een integraal I
gedefinieerd als
∫
I = cos (nω 0 t) cos (mω 0 t) dt. (6.4)
T 0
Met cos x cos y = 1 (cos (x − y) + cos (x + y)) kan (6.4) uitgedrukt worden als
2
I = 1 (∫
∫
)
cos (n + m) ω 0 tdt + cos (n − m) ω 0 tdt
2 T 0 T 0
(6.5)
De eerste integraal in (6.5), welke de oppervlakte onder (n + m) complete cyclussen van
een sinusoïde voorstelt, is gelijk aan nul. Het zelfde argument geeft aan dat de tweede
integraal in (6.5) gelijk aan nul is, uitgezonderd als n = m. Dus
∫
{ 0 n ≠ m
cos (nω 0 t) cos (mω 0 t) dt = T 0
T 0 2
n = m ≠ 0
(6.6)
∫
{ 0 n ≠ m
sin (nω 0 t) sin (mω 0 t) dt = T 0
T 0 2
n = m ≠ 0
(6.7)
en
∫
sin (nω 0 t) cos (mω 0 t) dt = 0,
T 0
∀n, m (6.8)
Om a 0 te bepalen in (6.3) worden beide leden van (6.3) geïntegreerd over een periode T 0 :
∫
∞∑
∫
)
x (t) dt = a 0 dt +
(a n cos (nω 0 t) dt + b n sin (nω 0 t) dt
∫T 0 T 0
∫T 0 T 0
= a 0
∫T 0
dt
n=1
= a 0 T 0 (6.9)