Hoofdstuk 6 Fourier Analyse

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 168
Dus de bilaterale Laplace transformatie kan geïnterpreteerd worden als de Fourier transformatie
van x (t) e −σt . Opgelet: Niettegenstaande de Fourier transformatie de Laplace
transformatie is met s = jω, mag er niet automatisch verondersteld worden dat de Fourier
transformatie van een signaal x (t) de Laplace transformatie is met s te vervangen
door jω. Als x (t) absoluut integreerbaar is, ∫ ∞
|x (t)| dt < ∞, kan de Fourier transformatie
verkregen worden via de Laplace transformatie van x (t) met s = jω. De volgende
−∞
voorbeelden illustreren dit.
Voorbeeld 6.4 Beshouw de eenheid impulsfunctie δ (t) . De Laplace transformatie van
δ (t) is
L [δ (t)] = 1. (6.41)
De Fourier transformatie van δ (t) is
F [δ (t)] =
∫ ∞
−∞
δ (t) e −jωt dt = 1. (6.42)
Dus, de Laplace transformatie en de Fourier transformatie van δ (t) zijn hetzelfde. Figuur
6.12 geeft δ (t) en zijn spectrum weer.
Figuur 6.12: (a) Eenheidsimpulsfunctie, en (b) zijn Fourier spectrum
Voorbeeld 6.5 Beshouw de eenheid stapfunctie u (t) . De Laplace transformatie van u (t)
is
L [u (t)] = 1 s . (6.43)
De Fourier transformatie van u (t) is
F [u (t)] =
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
0
u (t) e −jωt dt
e −jωt dt
= −1
jω e−jωt ∣ ∣∣∣
∞
0
(6.44)
De lim t→∞
−1
jω e−jωt geeft een onbepaalde vorm,
0
∞ .We beshouwen u (t) = lim a→0 e −at u (t)