Hoofdstuk 6 Fourier Analyse

Hoofdstuk 6
Fourier Analyse
6.1 Fourier reeksen
6.1.1 Periodiek signaal voorstelling door trigoniometrische Fourier
reeksen
Zoals gezien in sectie 1.1, een periodiek signaal x (t) met periode T 0 (Figuur 6.1) heeft de
eigenschap
x (t) = x (t + T 0 ) , ∀t. (6.1)
Figuur 6.1: Een periodisch signaal met periode T 0
De kleinste waarde van T 0 die voldoet aan (6.1) wordt de fundamentele periode genoemd.
De vergelijking (6.1) houdt in dat x (t) begint in −∞ en verder gaat naar ∞. De oppervlakte
onder het periodiek signaal x (t) tussen elk interval T 0 is hetzelfde; dat is voor
a, b ∈ R
∫ a+T0
a
x (t) dt =
∫ b+T0
b
x (t) dt. (6.2)
Beschouw het signaal dat samengesteld is door sinussen en cosinussen met radiaalfrequentie
ω 0 en al zijn harmonischen met willekeurige amplituden:
x (t) = a 0 +
∞∑
a n cos (nω 0 t) + b n sin (nω 0 t) (6.3)
n=1
waarbij ω 0 = 2π
T 0
= 2πf 0 met f 0 = 1 T 0
de frequentie. We bewijzen nu een belangrijke
eigenschap: x (t) in (6.3) is een periodiek signaal met periode T 0 en a n , b n ∈ R
153

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 154
Bewijs.
x (t + T 0 ) = a 0 +
= a 0 +
Met nω 0 T 0 = 2πn
∞∑
a n cos nω 0 (t + T 0 ) + b n sin nω 0 (t + T 0 )
n=1
∞∑
a n cos (nω 0 t + nω 0 T 0 ) + b n sin (nω 0 t + nω 0 T 0 )
n=1
x (t + T 0 ) = a 0 +
= a 0 +
= x (t)
∞∑
a n cos (nω 0 t + 2πn) + b n sin (nω 0 t + 2πn)
n=1
∞∑
a n cos (nω 0 t) + b n sin (nω 0 t)
n=1
Bepalen van de coëfficienten
Om de coëfficienten van de Fourier reeks te bepalen, beschouwt men een integraal I
gedefinieerd als
∫
I = cos (nω 0 t) cos (mω 0 t) dt. (6.4)
T 0
Met cos x cos y = 1 (cos (x − y) + cos (x + y)) kan (6.4) uitgedrukt worden als
2
I = 1 (∫
∫
)
cos (n + m) ω 0 tdt + cos (n − m) ω 0 tdt
2 T 0 T 0
(6.5)
De eerste integraal in (6.5), welke de oppervlakte onder (n + m) complete cyclussen van
een sinusoïde voorstelt, is gelijk aan nul. Het zelfde argument geeft aan dat de tweede
integraal in (6.5) gelijk aan nul is, uitgezonderd als n = m. Dus
∫
{ 0 n ≠ m
cos (nω 0 t) cos (mω 0 t) dt = T 0
T 0 2
n = m ≠ 0
(6.6)
∫
{ 0 n ≠ m
sin (nω 0 t) sin (mω 0 t) dt = T 0
T 0 2
n = m ≠ 0
(6.7)
en
∫
sin (nω 0 t) cos (mω 0 t) dt = 0,
T 0
∀n, m (6.8)
Om a 0 te bepalen in (6.3) worden beide leden van (6.3) geïntegreerd over een periode T 0 :
∫
∞∑
∫
)
x (t) dt = a 0 dt +
(a n cos (nω 0 t) dt + b n sin (nω 0 t) dt
∫T 0 T 0
∫T 0 T 0
= a 0
∫T 0
dt
n=1
= a 0 T 0 (6.9)

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 155
Uit (6.9)
a 0 = 1 T 0
∫T 0
x (t) dt. (6.10)
We vermenigvuldigen nu beide leden van (6.3) met cos (mω 0 t) en integreren de resulterende
vergelijking over een periode T 0 :
∫
∞∑
∫
)
cos (mω 0 t) x (t) dt = a 0 cos (mω 0 t) dt +
(a n cos (nω 0 t) cos (mω 0 t) dt
∫T 0 T 0 n=1 T 0
∞∑
∫
)
+
(b n sin (nω 0 t) cos (mω 0 t) dt
(6.11)
T 0
n=1
Steunend op (6.6), (6.7) en (6.8) vergelijking (6.11) wordt
∫
cos (mω 0 t) x (t) dt = a mT 0
T 0
2
(6.12)
Uit (6.12)
a m = 2 T 0
∫T 0
cos (mω 0 t) x (t) dt (6.13)
Op analoge manier, beide leden van (6.3) met sin (mω 0 t) vermenigvuldigen en de resulterende
vergelijking te integreren over een periode T 0 , krijgen we
b m = 2 T 0
∫T 0
sin (mω 0 t) x (t) dt (6.14)
Compacte (Harmonische) vorm van de Fourier reeks
Steunend op de trigoniometrische identiteit
C cos (ω 0 t + θ) = C cos (θ) cos (ω 0 t) − C sin (θ) sin (ω 0 t)
= a cos (ω 0 t) + b sin (ω 0 t) (6.15)
waarbij C = √ a 2 + b 2 en θ = tan ( ) −1 −b
a , de trigoniometrische Fourier reeks kan uitgedrukt
worden in de harmonische vorm
∞∑
x (t) = C 0 + C n cos (nω 0 t + θ n ) . (6.16)
n=1
De coëfficienten C n en θ n zijn als volgt gerelateerd aan de coëfficienten a n en b n :
C 0 = a 0 , C n = √ ( )
a 2 n + b 2 n, θ n = tan −1 −bn
a n
(6.17)

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 156
Voorbeeld 6.1 Bepaal de harmonische Fourier reeks voor een periodiek signaal x (t)
weergegeven in Figuur 6.2. Teken de amplitude- en fase spectrum.
Figuur 6.2: (a) Een periodisch signaal en (b,c) zijn Fourier spectra
Oplossing
In dit geval is de periode T 0 = π en de frequentie f 0 = 1 T 0
Daarom kan x (t) geschreven worden als
= 1 π [Hz] en ω 0 = 2π
T 0
= 2 [rad/s] .
waarbij
en
a n = 2 π
b n = 2 π
x (t) = a 0 +
∫ π
0
∫ π
0
a 0 = 1 π
∞∑
a n cos (2nt) + b n sin (2nt)
n=1
∫ π
0
e (− t 2) dt = 0.504
( )
e ( − 2) t 2
cos (2nt) dt = 0.504
1 + 16n 2
( )
e (− 2) t 8n
sin (2nt) dt = 0.504
1 + 16n 2
Het periodiek signaal x (t) kan dan geschreven worden als
(
∞∑
( )
)
2
x (t) = 0.504 1 +
(cos (2nt) + 4n sin (2nt))
1 + 16n 2
n=1

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 157
n C n θ n
0 0.504 0
1 0.244 −75, 96
2 0.125 −82, 87
3 0.084 −85, 24
4 0.063 −86, 42
5 0.0504 −87, 14
6 0.042 −87, 61
7 0.036 −87, 95
Tabel 6.1: Amplitude en fasen van de DC en de eerste 7 harmonischen
Uit (6.17)
C 0 = a 0 = 0.504,
en
C n = √ √
( )
4
a 2 n + b 2 n = 0.504
(1 + 16n 2 ) 2 + 64n 2
(1 + 16n 2 ) 2 = 0.504 2
√
1 + 16n
2
θ n = tan −1 ( −bn
a n
)
= tan −1 (4n) = − tan −1 (4n) .
Het periodiek signaal x (t) kan dan geschreven worden in de harmonische vorm
x (t) = 0.504 + 0.504
∞∑
( )
2
√ cos ( 2nt − tan −1 (4n) )
1 + 16n
2
n=1
Amplitude en fase van de dc component en de zeven harmonische zijn weergegeven in
tabel (6.1)
Voorbeeld 6.2 Een periodiek signaal x (t) wordt gegeven door een trigoniometrische
Fourier reeks
x (t) = 2 + 3 cos (2t) + 4 sin (2t) + 2 sin (3t + 30 ◦ ) − cos (7t + 150 ◦ ) .
Druk dit signaal uit in de harmonische vorm en teken amplitude- en fase spectrum
Oplossing
In de harmonische Fourier reeks, worden de sinus en cosinus termen met dezelfde frequentie
gecombineerd in een enkelvoudige term. Alle termen worden uitgedrukt als consinus
termen met positieve amplituden. Uit (6.16) en (6.17)
3 cos (2t) + 4 sin (2t) = 5 cos (2t − 53, 13 ◦ ) ,
sin (3t + 30 ◦ ) = cos (3t + 30 ◦ − 90 ◦ ) = cos (3t − 60 ◦ )

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 158
en
− cos (7t + 150 ◦ ) = cos (7t + 150 ◦ − 180 ◦ ) = cos (7t − 30 ◦ ) .
Het signaal wordt uitgedrukt als
x (t) = 2 + 5 cos (2t − 53, 13 ◦ ) + 2 cos (3t − 60 ◦ ) + cos (7t − 30 ◦ ) .
Het amplitude- en fase spectrum wordt afgebeeld in Figuur 6.3.
Figuur 6.3: Fourier spectra van het signaal x(t)
6.1.2 Periodiek signaal voorstelling door complex exponentiële
Fourier reeksen
De complex exponentieel Fourier reeks voorstelling van een periodiek signaal x (t) met
fundamentele periode T 0 wordt gegeven door
∞∑
x (t) = D n e jnω 0t
(6.18)
n=−∞
waarbij D n de complex Fourier coëfficienten zijn. Deze coëfficienten worden bepaald
door beide leden van (6.18) te vermenigvuldigen met e −jmω0t , m ∈ Z en de resulterende
vergelijking te integreren over een periode T 0 . Dit geeft
∫
∞∑
x (t) e −jmω0t dt = D n e
T 0
∫T j(n−m)ω0t dt (6.19)
0
n=−∞
Steunend op de orthogonaliteit van exponentiëlen en gebruikmaken van (6.19), krijgen we
D m = 1 T 0
∫T 0
x (t) e −jmω 0t dt. (6.20)

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 159
Figuur 6.4: Fourier reeksvoorstelling van een periodiek signaal met periode T 0 (ω 0 =
2π/T 0 )
Tabel 6.4 geeft de relatie van D n met a n , b n en C n .
Voorbeeld 6.3 Bepaal de exponentiele Fourier reeks voor het signaal voorgesteld in
Figuur 6.1 (a). In dit geval is de periode T 0 = π en de frequentie f 0 = 1 T 0
= 1 [Hz] π
en ω 0 = 2π
T 0
= 2 [rad/s] . Daarom kan x (t) geschreven worden als
waarbij
D n = 1 π
x (t) =
∫ π
0
∞∑
n=−∞
D n e j2nt
e ( − t 2) e −j2nt dt
∣
−1
∣∣∣∣
π
=
π ( 1 1
+ j2n)e−( 2 +j2n)t
2 0
= 0.504
1 + j4n
Het periodiek signaal x (t) kan dan geschreven worden als
∞∑ 1
x (t) = 0.504
1 + j4n ej2nt
n=−∞
(
= 0.504 1 + 1
1 + j4 ej2t + 1
1 + j8 ej4t + ... + 1
1 − j4 e−j2t + 1
)
1 − j8 e−j4t + ...
Merk op dat de coëfficienten D n ∈ C waarbij D n en D −n complex toegevoegden zijn.
Figuur 6.5 geeft de amplitude en fase spectra.

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 160
Figuur 6.5: Exponentiële Fourier spectra voor het signaal x(t) in Figuur 6.1 (a)
6.1.3 Convergentie van de Fourier reeks
Dirichlet condities
Als x (t) voldoet aan bepaalde condities (Dirichlet condities) zal de Fourier reeks puntsgewijs
convergeren in alle punten waar x (t) continu is. De condities zijn:
1. De functie x (t) moet absoluut integreerbaar zijn; dat is
∫
T 0
|x (t)| dt < ∞. (6.21)
2. De functie x (t) heeft een eindig aantal discontinuïteiten in een eindige periode en
elke discontinuïteit is eindig.
3. De functie x (t) heeft een eindig aantal maxima en minima in een eindige periode.
Alle praktische signalen voldoen aan deze condities.
Fourier synthesis van discontinue functies: het Gibbs fenomeen
Beschouw de rechthoekige pulstrein voorgesteld in Figuur 6.6. Het signaal is periodiek
met fundamentele periode T 0 = 2 en met fundamentele radiale frequentie ω 0 = 2π 2 = π.
Het signaal voldoet aan de Dirichlet condities en zijn trigoniometrische Fourier reeks
representatie wordt gegeven door
x (t) = 1 2 +
∞
∑
n=−∞
n oneven
2
( (
) π
)
nπ cos nπt + (−1) (n−1)/2 − 1 , − ∞ < t < ∞. (6.22)
2

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 161
Figuur 6.6: Periodiek signaal met fundamentele periode T = 2
Gegeven k = (n + 1) ∈ N, stel x k (t) gelijk aan de eindige som
x k (t) = 1 2 +
k∑
n=1
n oneven
2
( (
) π
)
nπ cos nπt + (−1) (n−1)/2 − 1 , − ∞ < t < ∞. (6.23)
2
Bij Fourier’s theorema, x k (t) zal convergeren naar x (t) als k → ∞. Met andere woorden
|x k (t) − x (t)| gaat naar nul voor alle t als k groot wordt. Om dit aan te tonen wordt
x k (t) afgebeeld voor verschillende waarden van k.
Met k = 3, x k (t) wordt
x 3 (t) = 1 2 + 2 π
2
cos (πt) + cos (3πt − π) , − ∞ < t < ∞.
3π
Dit resulterend in de grafiek voorgesteld in Figuur 6.7(a). Het resultaat in Figuur 6.7(b)
wordt bekomen door k = 10 te stellen. Vergelijken van Figuur 6.7(a) en Figuur 6.7(b)
geeft aan dat x 10 (t) een betere benadering is van x (t). Stel k = 50, uitgezonderd voor
de overshoot in de hoeken van de puls, de golfvorm in Figuur 6.7(c) is reeds een goede
benadering van x (t) . Merk op in de grafiek, dat de magnitude van de overshoot ongeveer
gelijk is aan 9%. Met k = 100 blijft de overshoot van 9% in de hoeken bestaan. Het
resultaat wordt afgebeeld in Figuur 6.7(d). De overshoot in de hoekpunten van 9% blijft
bestaan zelf als k → ∞. Deze karateristiek was eerst ontdekt door Josiah Willard Gibbs
en de overshoot wordt het Gibbs fenomeen genoemd. Het Gibbs fenomeen is enkel aanwezig
wanneer er een sprong discontinuïteit optreedt in x (t). Als een continu signaal x (t)
wordt benadert door de eerste k termen van de Fourier reeks benadert x k (t) de functie
x (t) voor alle t als k → ∞, maar er treedt geen Gibbs fenomeen op. Dit wordt voorgesteld
in Figuur 6.7.

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 162
1.2
1
0.8
(a)
(b)
1.2
n=3 1
n=10
0.8
x(t)
0.6
0.4
x(t)
0.6
0.4
0.2
0.2
0
0
−0.2
−4 −2 0 2 4
−0.2
−4 −2 0 2 4
1.2
1
0.8
(c)
(d)
1.2
n=50
1
n=100
0.8
x(t)
0.6
0.4
x(t)
0.6
0.4
0.2
0.2
0
0
−0.2
−4 −2 0 2 4
t (sec)
−0.2
−4 −2 0 2 4
t (sec)
Figuur 6.7: Benadering van het signaal uit Figuur 6.6

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 163
6.2 Fourier transformatie
6.2.1 Aperiodiek signaal voorstelling met de Fourier integraal
Gegeven een aperiodiek signaal x (t) met eindige duur, dat is
x (t) = 0, |t| > T 1 (6.24)
Een voorbeeld van zo een signaal is afgebeeld in (Figuur 6.8).
Figuur 6.8: (a) Niet-periodiek signaal x(t), (b) Periodiek signaal samengesteld door periodieke
herhaling van x(t)
Stel dat x T0 (t) een periodiek signaal is geconstrueerd door x (t) te herhalen met fundamentele
periode T 0 (Figuur 6.8 (b)). Laat T 0 → ∞, en we hebben
lim
T 0 →∞ x T 0
(t) = x (t) (6.25)
De complex exponentiele Fourier reeks van x T0 (t) wordt gegeven bij
waarbij
x T0 (t) =
∞∑
n=−∞
D n = 1 T 0
∫ T 0
2
D n e jnω 0t ,
ω 0 = 2π
T 0
(6.26)
− T 0
2
x T0 (t) e −jnω0t dt. (6.27)
Omdat x T0 (t) = x (t) voor |t| < T 0
2
en x (t) = 0 buiten het interval, (6.27) kan geschreven
worden als
D n = 1 T 0
∫ T 0
2
x T0 (t) e −jnω0t dt
− T 0
2
= 1 ∫ ∞
x (t) e −jnω0t dt. (6.28)
T 0
−∞

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 164
Definieer X (ω) als
X (ω) =
∫ ∞
−∞
x (t) e −jωt dt. (6.29)
Uit (6.28) en (6.29) de complex Fourier coefficient D n kan uitgedrukt worden als
Substitueren van (6.30) in (6.26) geeft
D n = 1 T 0
X (nω 0 ) (6.30)
∞∑ 1
x T0 (t) = X (nω 0 ) e jnω 0t
T
n=−∞ 0
= 1 ∞∑
X (nω 0 ) e jnω0t ω 0 (6.31)
2π
n=−∞
Als T 0 → ∞, ω 0 = 2π
T 0
wordt infinidecimaal (ω 0 → 0) en ω 0 = ∆ω. Vergelijking (6.31)
wordt dan
x T0 (t)| T0 →∞ → 1 ∞∑
X (n∆ω) e jn∆ωt ∆ω. (6.32)
2π
n=−∞
Met lim T0 →∞ x T0 (t) = x (t) , het aperiodiek signaal x (t) met eindige duur kan geschreven
worden als
1
∞∑
x (t) = lim X (n∆ω) e jn∆ωt ∆ω. (6.33)
∆ω→0 2π
n=−∞
De eindeloze som aan de rechterkant van (6.33) kan gezien worden als de oppervlakte
onder de functie X (ω) e jωt , zoals voorgesteld in Figuur 6.9.
Vergelijking (6.33) wordt dan
Figuur 6.9: Grafische interpretatie van vergelijking (6.33)
x (t) = 1
2π
= 1
2π
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
X (w) e jωt dω
(∫ ∞
x (t) e −jωt dt
−∞
welke de Fourier voorstelling is van een aperiodiek signaal x (t) .
)
e jωt dω, (6.34)

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 165
Convergentie van de Fourier transformatie
Zoals met de Fourier reeks, als x (t) voldoet aan de Dirichlet condities, zal de Fourier
transformatie puntsgewijs convergeren in alle punten waar x (t) continu is. De condities
zijn:
1. De functie x (t) moet absoluut integreerbaar zijn; dat is
∫
T 0
|x (t)| dt < ∞. (6.35)
2. De functie x (t) heeft een eindig aantal discontinuïteiten in een eindige periode en
elke discontinuïteit is eindig.
3. De functie x (t) heeft een eindig aantal maxima en minima in een eindige periode.
We merken hier op dat de Dirichlet condities een voldoende voorwaarde zijn voor het
bestaan en het puntsgewijs convergeren van de Fourier transformatie, de condities zijn niet
noodzakelijk. Bijvoorbeeld, e at u (t), welke niet voldoet aan Dirichlet eerste conditie, heeft
geen Fourier transformatie. Terwijl het signaal sin(at) , welke niet voldoet aan Dirichlet
t
condities, een Fourier transformatie heeft.
Fysische interpretatie van de Fourier transformatie
Een Fourier spectrum, van een periodiek signaal, heeft eindige amplituden en bestaat
in discrete frequenties (ω 0 , 2ω 0 , ...nω 0 , ...) . Dit spectrum is gemakkelijk te visualizeren,
maar het spectrum van een aperiodiek signaal heeft een continu spectrum en is niet zo
gemakkelijk te visualiseren. Een voorbeeldje verduidelijkt het concept ”continu spectrum”.
Beschouw een balk belast met gewichten G 1 , G 2 , ..., G n in uniform verdeelde punten
y 1 , y 2 , ..., y n , zoals voorgesteld in Figuur 6.10 (a).
Figuur 6.10: Gewichtslading analogie voor de Fourier transformatie
Het totale gewicht op de balk wordt gegeven door
G tot =
n∑
i=1
G i
Beschouw nu het geval van een balk geladen met een continue belasting (zie Figuur 6.10
(b)). Een maat voor de belasting is niet het gewicht per punt, maar de ladingsdichtheid

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 166
per lengte eenheid. Stel X (y) gelijk aan de ladingsdichtheid per lengte eenheid van de
balk. De lading over een balk lengte ∆y (∆y → 0) , in een bepaald punt y, is X (∆y) y.
De totale belasting op de balk wordt gegeven door
G tot = lim
∆y→0
=
∫ yn
y 1
y n
∑
y 1
X (n∆y) ∆y
X (y) dy.
De belasting bestaat nu in alle punten en y is een continue variable. Een exact analoge
situatie bestaat in het geval van een signaal spectrum.

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 167
6.3 Relatie tussen Fourier transformatie en Laplace
transformatie
De functie X (ω) = ∫ ∞
x (t) −∞ e−jωt dt wordt de Fourier transformatie van x (t) genoemd
∫
en x (t) = 1 ∞ X (w) 2π −∞ ejωt dω definieerd de invers Fourier transformatie. Symbolisch
worden zij voorgesteld als
X (w) = F [x (t)] =
∫ ∞
−∞
x (t) e −jωt dt, (6.36)
x (t) = F −1 [X (w)] = 1 ∫ ∞
X (w) e jωt dω. (6.37)
2π −∞
De operaties worden voorgesteld in Figuur 6.11.
Figuur 6.11: Symmetrie tussen Fourier transformatie en zijn inverse Fourier transformatie
De bilaterale Laplace transformatie van x (t) wordt gegeven door
X (s) = L [x (t)] =
∫ ∞
−∞
x (t) e −st dt. (6.38)
Uit (6.36) en (6.38) volgt dat de Fourier transformatie een speciaal geval is van de Laplace
transformatie waarbij s = jω, dat is
In (6.38), stel s = σ + jω en we krijgen
X (σ + jω) =
X (s)| s=jω
= F [x (t)] . (6.39)
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
x (t) e −t(σ+jω) dt
(
x (t) e
−σt ) e −jω dt
= F [ x (t) e −σt] . (6.40)

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 168
Dus de bilaterale Laplace transformatie kan geïnterpreteerd worden als de Fourier transformatie
van x (t) e −σt . Opgelet: Niettegenstaande de Fourier transformatie de Laplace
transformatie is met s = jω, mag er niet automatisch verondersteld worden dat de Fourier
transformatie van een signaal x (t) de Laplace transformatie is met s te vervangen
door jω. Als x (t) absoluut integreerbaar is, ∫ ∞
|x (t)| dt < ∞, kan de Fourier transformatie
verkregen worden via de Laplace transformatie van x (t) met s = jω. De volgende
−∞
voorbeelden illustreren dit.
Voorbeeld 6.4 Beshouw de eenheid impulsfunctie δ (t) . De Laplace transformatie van
δ (t) is
L [δ (t)] = 1. (6.41)
De Fourier transformatie van δ (t) is
F [δ (t)] =
∫ ∞
−∞
δ (t) e −jωt dt = 1. (6.42)
Dus, de Laplace transformatie en de Fourier transformatie van δ (t) zijn hetzelfde. Figuur
6.12 geeft δ (t) en zijn spectrum weer.
Figuur 6.12: (a) Eenheidsimpulsfunctie, en (b) zijn Fourier spectrum
Voorbeeld 6.5 Beshouw de eenheid stapfunctie u (t) . De Laplace transformatie van u (t)
is
L [u (t)] = 1 s . (6.43)
De Fourier transformatie van u (t) is
F [u (t)] =
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
0
u (t) e −jωt dt
e −jωt dt
= −1
jω e−jωt ∣ ∣∣∣
∞
0
(6.44)
De lim t→∞
−1
jω e−jωt geeft een onbepaalde vorm,
0
∞ .We beshouwen u (t) = lim a→0 e −at u (t)

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 169
(zie Figuur 6.13) en de Fourier transformatie van u (t) wordt dan
lim F [ u (t) e −at] 1
= lim
a→0 a→0 a + jω
(
)
a
= lim
a→0 a 2 + ω − j ω
2 a 2 + ω
( )
2
a
= lim
+ 1
a→0 a 2 + ω 2 jω
(6.45)
De functie
a
a 2 +ω 2
Figuur 6.13: Fourier transformatie van de stapfunctie
heeft intresante eigenschappen, nl:
1. De oppervlakte onder deze functie is π, ongeacht de waarde van a.
a
2. Als a → 0, → 0, ∀ω ≠ 0 en al zijn oppervlakte is geconcentreerd in een enkel
a 2 +ω 2
a
punt ω = 0. Dus als a → 0, → πδ (w) .
a 2 +ω 2
Daarom is de Fourier transformatie van u (t)
F [u (t)] = πδ (w) + 1
jω . (6.46)
Dus de Fourier transformatie van u (t) kan niet verkregen worden via de Laplace transformatie.
Merk op dat de stapfunctie u (t) niet absoluut integreerbaar is.

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 170
6.4 Fourier transformaties en eigenschappen van Fourier
transformaties
Enkele veel voorkomende signalen en hun respectievelijke Fourier transformaties worden
weergegeven in Figuur 6.14.
Figuur 6.14: Fourier transformaties van veel voorkomende signalen

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 171
Basiseigenschappen van de Fourier transformatie worden samengevat in Figuur 6.15. Veel
van deze eigenschappen zijn gelijkaardig met deze van de Laplace transformatie (zie Hoofdstuk
??).
Figuur 6.15: Eigenschappen van Fourier transformaties
Voorbeeld 6.6 Los volgende differentiaalvergelijking op met Fourier transformatie
Oplossing
dy(t)
dt
+ 2y(t) = x(t) + dx(t)
dt
Toepassen van Fourier transformatie geeft
De frequentierespons H(ω) wordt
j ωY (ω) + 2Y (ω) = X(ω) + j ωX(ω).
H(ω) = Y (ω)
X(ω) = 1 + j ω
2 + j ω = 2 + j ω − 1
2 + j ω
Toepassen van de inverse Fourier transformatie geeft
F −1 [H(ω)] = h(t)
= 1 −
= δ(t) − e −2t u(t)
1
2 + j ω .

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 172
Voorbeeld 6.7 Los volgende differentiaalvergelijking op met Fourier transformatie
waarbij x(t) = u(t)
Oplossing
dy(t)
dt
Toepassen van Fourier transformatie geeft
+ 2y(t) = x(t)
j ωY (ω) + 2Y (ω) = X(ω)
hieruit volgt dat de frequentierespons H(ω) gegeven wordt door
De uitgangsrespons wordt gegeven door
Splitsen in partieelbreuken geeft
H(ω) = Y (ω)
X(ω) = 1
2 + j ω
Y (ω) = H(ω)X(ω)
(
1
= πδ(ω) + 1 )
2 + j ω j ω
= πδ(ω)
2 + j ω + 1
j ω(2 + j ω)
= π 2 δ(ω) + 1
j ω(2 + j ω) .
1
j ω(2 + j ω = A
j ω + B
j ω + 2
met A = 1/2 en B = −1/2 wordt de uitgangsrespons
Y (ω) = π 2 δ(ω) + 1
2j ω − 1
2(2 + j ω
= 1 (
πδ(ω) + 1 )
− 1 ( ) 1
2 j ω 2 2 + j ω
= 1 2 u(t) − 1 2 e−2t u(t)
= 1 2
(
1 − e
−2t ) u(t)
Merk op dat het gebruik van de Laplace transformatie gemakkelijker is dan de Fourier
transformatie omwille van de Fourier transformatie van de stapfunctie u(t).

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 173
6.5 De frequentierespons van continue LTI systemen
6.5.1 Frequentierespons en de impulsresponsfunctiue
Gegeven een LTI systeem en een ingangsignaal x(t). In het algemeen wordt het uitgangsignaal
y(t) geschreven als
y(t) = h(t) ∗ x(t) (6.47)
waarbij h(t) de impulsresponsfunctie is. Voor x(t) = e jωt wordt (6.47)
y(t) =
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
x (t − τ) h (τ) dτ
e jω(t−τ) h (τ) dτ
∫ ∞
= e jωt e −jωτ h (τ) dτ
−∞
} {{ }
H(ω)
(6.48)
waarbij H (ω) de frequentieresponsfunctie is.
Toepassen van de convolutie eigenschap (Fourier transformatie) en (6.47) wordt
Y (ω) = H (ω) X (ω) (6.49)
waarbij Y (ω) , H (ω) en X (ω) de Fourier transformaties zijn van y(t), h(t) en x(t) respectievelijk.
Met x(t) = e jω 0t wordt X (ω) gegeven door
X (ω) = F [ e jω 0t ]
= 2πδ (ω − ω 0 ) (6.50)
Vergelijking (6.50) in (6.49) en gebruikmakend van de eigenschappen van de impulsfunctie
geeft
Y (ω) = 2πH (ω 0 ) δ (ω − ω 0 ) (6.51)
Toepassen van de inverse Fourier operator F geeft
F −1 [Y (ω)] = H (ω 0 ) F −1 [2πδ (ω − ω 0 )]
= H (ω 0 ) e jω 0t
(6.52)
De relatie voorgesteld in (6.47) en (6.49) wordt geïllustreerd in Figuur 6.16.
Figuur 6.16: Relatie tussen in- en uitgangen van een LTI systeem

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 174
Voorbeeld 6.8 Bepaal de frequentieresponsfunctie van het RC-netwerk (zie Figuur 6.17).
Oplossing
Figuur 6.17: RC netwerk
De differentiaal vergelijking (relatie x (t) en y (t)) wordt geschreven als
dy(t)
dt
De impulsresponsfunctie wordt geven door
De frequentieresponsfunctie is dan
h(t) =
H (ω) =
=
+ 1
RC y(t) = 1
RC x(t)
{ 1
RC e− t
∫ ∞
−∞
∫ ∞
0
= 1
RC
=
RC t ≥ 0
0 t < 0
e −jωt h (t) dt
e −jωt 1
[
−e −t(jω+ t
1
1 + jωRC
t
RC e− RC dt
jω + t
RC
RC )
∣
∞
0
]
6.5.2 Frequentierespons en de transfertfunctiue
Gegeven een ingangsignaal
x (t) = K cos (ω 0 t) , t ≥ 0 (6.53)
met magnitude K en frequentie ω 0 . De Laplace transformatie van het ingangsignaal is
X (s) =
Ks
s 2 + ω0
2 Ks
=
(s + jω 0 ) (s − jω 0 )
(6.54)

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 175
De Laplace transformatie (6.54) heeft een zero bij s = 0 en twee polen bij s = ± jω 0 .
Als het systeem geen initiele energie heeft bij t = 0 is de Laplace transformatie van het
uitgangsignaal gegeven door
Y (s) = Z (s)
P (s)
Splitsen in partieel breuken geeft
(
)
Ks
(s + jω 0 ) (s − jω 0 )
(6.55)
Y (s) = ϕ (s)
P (s) + A
(s − jω 0 ) + A ∗
(s + jω 0 )
(6.56)
waarbij ϕ (s) een polynoom in s is en A, A ∗ ∈ C met A ∗ het complex toegevoegde. De
waarde A wordt bepaald met de residu formule
De waarde van A en A ∗ in (6.56) geeft
A = [(s − jω 0 ) Y (s)] s=jω0
[ ( )]
Z (s) Ks
=
P (s) (s + jω 0 )
= jKω 0Z (jω 0 )
P (jω 0 ) 2jω 0
s=jω 0
= K 2 H (jω 0) (6.57)
Y (s) = ϕ (s) K
P (s) + H (jω K
2 0)
(s − jω 0 ) + 2 H∗ (jω 0 )
(s + jω 0 )
(6.58)
waarbij H ∗ (jω [ 0 ) ] het complex toegevoegde van H (jω 0 ) is.
Stel L −1 ϕ(s)
= y
P (s) 1 (t). Toepassen van de inverse Laplace operator op beide leden
van (6.58) geeft
y (t) = y 1 (t) + K 2
(
H (jω0 ) e jω 0t + H ∗ (jω 0 ) e −jω 0t ) (6.59)
Gegeven de identiteit φe jω0t + φ ∗ e −jω 0t
geschreven worden als
= 2 |φ| cos (ω 0 t + ∠φ) , uitdrukking (6.59) kan
y (t) = y 1 (t)
} {{ }
+ K |H (jω 0 )| cos (ω 0 t + ∠H (jω 0 )), } {{ }
t ≥ 0 (6.60)
transiënt
steady-state
Als het systeem stabiel is gaat de term y 1 (t) in (6.60) naar 0 bij t → 0. De sinusoidale
term is het steady-state gedeelte
y ss (t) = K |H (jω 0 )| cos (ω 0 t + ∠H (jω 0 )) , t ≥ 0 (6.61)
Uit (6.61) volgt dat de steady-state respons dezelfde frequentie heeft als het ingangsignaal,
maar het is geschaald in magnitude met |H (jω 0 )| en de fase is verschoven met ∠H (jω 0 ) .

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 176
Voorbeeld 6.9 Gegeven een eerste orde systeem met transfertfunctie
H (s) = s + 0.1
s + 5
Bepaal de frequentierespons en de systeemrespons als x (t) = cos (2t) .
Oplossing
Vervang s = jω in H (s) zodat
H (jω) =
jω + 0.1
jω + 5
De amplitude- en de faserespons worden gegeven door
√
ω2 + 0.01
( ω
) ( ω
)
|H (jω)| = √
ω2 + 25 , ∠H (jω) = tg−1 − tg −1
0.1 5
De frequentierespons grafieken worden geïllustreerd in Figuur 6.18.
Figuur 6.18: Frequentierespons van eerste orde systeem
Voor x (t) = cos (2t) en ω = 2 wordt de amplituderespons
|H (j2)| =
√
22 + 0.01
√
22 + 25 = 0.372

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 177
en de faserespons wordt
( ) 2
∠|H(ω)| = tg −1 0.1
De systeemrespons kan dan geschreven worden als
( ) 2
− tg −1 = 87, 1 ◦ − 21, 8 ◦ = 65, 3 ◦
5
y (t) = K |H (jω)| cos (ω 0 t + ∠H (jω)) , t ≥ 0
= 0.372 cos (2t + 65, 3 ◦ )
Voorbeeld 6.10 Gegeven een tweede orde systeem met transfertfunctie
H (s) =
k
s 2 + 2ζω n s + ω 2 n
met k > 0, ζ > 0 en ω n > 0 (stabiel systeem). Bepaal de frequentierespons grafiek.
Oplossing
1. Als ζ ≥ 1 zijn de polen p 1,2 ∈ R en worden ze gegeven door
p 1,2 = −ζω n ± ω n
√
ζ2 − 1
Uitdrukken van H (s) in termen van p 1 en p 2 geeft
H (s) =
k
(s − p 1 ) (s − p 2 )
De magnitude en fase functies worden geschreven als
|H (jω)| =
k
|jω − p 1 | |jω − p 2 |
∠H (jω) = −∠jω − p 1 − ∠jω − p 2
De frequentierespons, ζ = 1, ω n = 3, 1 rad/s en k = ω n , wordt geïllustreerd in Figuur
6.19.
2. Als 0 < ζ < 1 zijn de polen p 1,2 ∈ C en worden ze gegeven door
p 1,2 = −ζω n ± jω d
waarbij ω d = ω n
√
1 − ζ2 . Uitdrukken van H (s)| s=jω
in termen van p 1 en p 2 geeft
H (ω) =
k
(jω + ζω n p 1 ) (s − p 2 )
De magnitude en fase functies worden geschreven als
|H (jω)| =
k
|jω − p 1 | |jω − p 2 |
De frequentierespons voor H (s) =
∠H (jω) = −∠jω − p 1 − ∠jω − p 2
k
s 2 +2s+102
wordt geïllustreerd in Figuur 6.20.

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 178
1
0.8
|H(ω)|
0.6
0.4
2 polenfilter met ζ = 1
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ω
0
−50
∠H(ω)
−100
−150
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ω
Figuur 6.19: Frequentieresponsgrafiek met ζ = 1
1
0.8
|H(ω)|
0.6
0.4
0.2
0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
ω
0
−50
∠H(ω)
−100
−90°
−150
−200
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
ω
Figuur 6.20: Frequentieresponsgrafiek met ζ = 0.099

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 179
6.6 Bode diagrammen
Gegeven een systeem met transfertfunctie H(s), de Bode diagrammen zijn grafieken van
de magnitudefunctie |H(ω)| dB = 20 log 10 |(ω)| en de fasefunctie ∠H(ω), waarbij de schaal
voor de frequentievariabele ω logaritmisch is. Het gebruik van de logaritmische functie in
de definitie van de magnitude |H(ω)| dB en de logaritmische schaal voor ω laat ons toe de
Bode diagrammen te benaderen door rechte lijnen (asymptoten).
6.6.1 reële polen en zero’s
Beschouw de transfertfunctie gedefinieerd als
H(s) = A(s + z 1)(s + z 2 ) · · · (s + z m )
s(s + p 1 )(s + p 2 ) · · · (s + p n−1 )
(6.62)
In (6.62) is A een reële constante, de zero’s −z 1 , . . . , −z m en de polen −p 1 , . . . , −p n−1 zijn
reële getallen. Stel s = jω in (6.62) geeft
H(ω) = A(jω + z 1)(jω + z 2 ) · · · (jω + z m )
jω(jω + p 1 )(jω + p 2 ) · · · (jω + p n−1 )
(6.63)
Delen van elke factor jω + z i in de teller door z i en delen van elke factor jω + p i in de
noemer door p i geeft
H(ω) = K B(j ω z 1
+ 1)(j ω z 2
+ 1) · · · (j ω
z m
+ 1)
jω(j ω p 1
+ 1)(j ω p 2
+ 1) · · · (j ω
p n−1
+ 1)
(6.64)
waarbij K B een reële constante is gegeven door K B = Az 1z 2 ...z m
p 1 p 2 ...p n−1
. Gebruikmaken van
de eigenschappen van de logaritmische functie kan de magnitude van (6.64) geschreven
worden als
∣ ∣∣∣
|H(ω)| dB = 20 log 10 |K B | + 20 log 10 j ω + 1
z 1
∣ + · · · + 20 log 10 ∣ j ω
+ 1
z m
∣
∣ ∣∣∣
−20 log 10 |jω| − 20 log 10 j ω + 1
p 1
∣ − · · · − 20 log 10 ∣ j ω
+ 1
p n−1
∣ .(6.65)
De fase van H(ω) wordt gegeven door
(
∠H(ω) = ∠K B + ∠ j ω )
+ 1
z
( 1
−∠(jω) − ∠ j ω + 1
p 1
(
+ · · · + ∠
)
− · · · − ∠
j ω )
+ 1
z
( m
j ω + 1
z n−1
)
(6.66)
Dus de magnitude- en de fasefuncties kunnen worden samengesteld in sommen van de
individuele factoren. De Bode diagrammen kunnen dan worden bepaald voor elke factor
en grafisch worden opgeteld.

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 180
Constante factoren. Het magnitude diagram voor de constante factor K B is
een rechte versus ω gegeven door
De fase van de factor K B is een rechte versus ω
{ 0
∠K B =
◦ , K B > 0
±180 ◦ , K B < 0
|K B | dB = 20 log 10 |K B |. (6.67)
Het Bode diagramma voor K B worden gegeven in Figuur 6.21
(6.68)
Figuur 6.21: Magnitude en fase van K B
(j ωT + 1) factoren. De magnitude van (j ωT + 1) in dB wordt gegeven door
|(j ωT + 1)| dB = 20 log 10
√
ω2 T 2 + 1 (6.69)
Definieer de hoekfrequentie ω hf als de waarde waarbij ωT = 1; dat is ω hf = 1/T .
• Voor ω < ω hf wordt ωT < 1, en kan de magnitude benaderd worden door
|jωT + 1| dB ≈ 20 log 10 (1) = 0 dB (6.70)
• Voor ω > ω hf wordt ωT > 1, en kan de magnitude worden benaderd door
|jωT + 1| dB ≈ 20 log 10 (ωT ) = 0 dB (6.71)
De term 20 log 10 (ωT ) is een rechte met richtingscoëfficiënt 20 dB/decade, waarbij een
decade een factor 10 in frequentie is. De constante nul (ω < ω hf ) en de rechte 20 log 10 (ωT ),
(ω > ω hf ), zijn de asymptoten voor de magnitude |jωT + 1|.

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 181
Figuur 6.22: Exacte Magnitude en fase van factor |jωT + 1|
40
Bode Diagram (asymptotisch)
Magnitude (dB)
30
20
10
20 log 10
(1)
20 log 10
(ωT)
0
10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2
80
fase (deg)
60
40
20
0
10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2
ω hf
(rad/s)
Figuur 6.23: Asymptotische Magnitude en fase van factor |jωT + 1|

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 182
De asymptoten worden in Figuur 6.23 voorgesteld en de exacte magnitudefunctie in Figuur
6.22. De asymptoten geven een goede benadering voor frequenties verschillend van de
hoekfrequenties. Bij de hoekfrequentie is het verschil van de asymptotische benedering
t.o.v. de exacte 3 dB.
De hoek van de factor |jωT + 1| wordt gegeven door
∠(jωT + 1) = tg −1 (ωT ) (6.72)
• Voor lage frequenties, ω < ω hf
, wordt ∠(jωT + 1) ≈ 0◦
10
• Voor hoge frequenties, ω < 10 ω hf , wordt ∠(jωT + 1) ≈ 90 ◦
Het verschil van 0 ◦ naar 90 ◦ kan worden benaderd door een rechte lijn met de richtingscoëfficiënt
45 ◦ /dec over een twee decadebereik van ω hf
naar 10 ω 10 hf.
Wanneer de factor in de noemer voorkomt, (j ω + 1) −1 , resulteert dit een richtingscoëfficiënt
van -20 dB/decade in de magnitude plot en −90 ◦ in de faseplot (zie Figuur
6.24)
0
Bode Diagram (asymptotisch)
Magnitude (dB)
−10
−20
−30
−20 log 10
(ω T)
−40
10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2
0
fase (deg)
−45
−90
10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2
ω hf
(rad/s)
Figuur 6.24: Asymptotische magnitude en fase van de factor |(j ωT + 1) −1 |
(j ω) factor De magnitude van jω wordt gegeven door
|jω| dB
= 20 log 10 (ω) (6.73)
Dit is een rechte met richtingscoëfficient -20 dB/decade (logaritmische schaal voor ω).
De rechte snijdt de 0 dB-as bij ω = 1. De Bode diagram voor |jω| dB
wordt afgebeeld in
(Figuur 6.25). In dit geval is de asymptotische benadering niet nodig omdat de exacte
vorm een rechte is. De fase grafiek is een rechte met constante waarde ∠jω = 90 ◦ zoals

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 183
40
Magnitude, dB
20
0
−20
−40
10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2
ω (rad/s)
180
135
fase, graden
90
45
0
10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2
ω (rad/s)
Figuur 6.25: Magnitude- en fasegrafiek voor de factor j ω
40
magnitude, dB
20
0
−20
−40
10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2
ω (rad/s)
0
−45
fase, graden
−90
−135
−180
10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2
ω (rad/s)
Figuur 6.26: Magnitude- en fasegrafiek voor de factor (j ω) −1
voorgesteld in Figuur 6.26. Als de factor in de noemer voorkomt, (jω) −1 , resulteerd dit in
een richtingscoëfficiënt -20 dB/decade in de magnitude grafiek en −90 ◦ in de fase grafiek
(zie Figuur 6.26).

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 184
6.6.2 Complexe polen of zero’s
Stel dat H(s) een kwadratische factor bevat van de vorm s 2 + 2ζω n s + ωn 2 met 0 < ζ < 1
en ω n > 0 (s 1,2 ∈ C). Stel s = jω en deel door ωn 2 zodat de kwadratische factor geschreven
wordt als ( jω
w n
) 2 + 2ζ
ω n
(jω) + 1. De magnitude in dB voor deze kwadratische factor wordt
( ) √
2 jω
+ 2ζ
( ) 2 (jω) + 1
= 20 log
∣ ω n ω n ∣ 10 1 − ω2
+
dB
ω 2 n
( 2ζω
ω n
) 2
(6.74)
Definieer de hoekfrequentie zodat ω hf
ω n
= 1. Een asymptotische constructie kan bekomen
worden voor lage frequenties, ω < ω n :
( ) 2 jω
+ 2ζ
(jω) + 1
≈ 20 log
∣ ω n ω n ∣ 10 (1) = 0dB (6.75)
dB
en voor hoge frequenties, ω > ω n :
( ) 2 jω
+ 2ζ
( ) 2
ω
(jω) + 1
≈ 20 log
∣ ω n ω n ∣ 10
ω n dB
( ) ω
= 40 log 10
ω n
(6.76)
De asymptoot bij hoge frequenties is een rechte met richtingscoëfficiënt 40 dB/decade. De
asymptotische benadering voor de magnitude van de kwadratische factor wordt voorgesteld
in Figuur 6.27. In dit geval is het verschil tussen de asymptotische benadering en
de exacte grafiek afhankelijk van de parameter ζ. De fase voor deze kwadratische factor
wordt
( ) (
2 jω
∠
+ 2ζ
(jω) + 1
∣ ω n ω n ∣ = tg−1
2ζω
ω n
1 − ω2
ω 2 n
)
(6.77)
Een asymptotische constructie kan bekomen worden voor lage frequenties, ω < ω n :
( ) 2 jω
∠
+ 2ζ
( )
0
(jω) + 1
∣ ω n ω n ∣ ≈ tg−1 = 0 ◦ (6.78)
1
en voor hoge frequenties, ω > ω n :
( ) 2 jω
∠
+ 2ζ
( )
(jω) + 1
∣ ω n ω n ∣ ≈ 2ζωn
tg−1 ≈ 180 ◦ (6.79)
−ω
De overgang tussen de lage- en hoge frequentie asymptoten is een rechte over 2 decaden
vanaf 0.1ω n tot 10ω n met richtingscoëfficient 90 ◦ /decade zoals geïllustreerd in Figuur
6.28. Als de kwadratische factor in de noemer voorkomt, (s 2 + 2ζω n s + ω 2 n) −1 , worden de
asymptotische benaderingen voorgesteld in Figuur 6.28.

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 185
80
magnitude, dB
60
40
20
0
10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2
ω (rad/s)
180
fase, graden
90
0
10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2
ω (rad/s)
Figuur 6.27: Magnitude- en fasegrafiek voor de term s 2 + 2ζω n s + ω 2 n
0
magnitude, dB
−20
−40
−60
−80
10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2
ω (rad/s)
0
fase, graden
−90
−180
10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2
ω (rad/s)
Figuur 6.28: Magnitude- en fasegrafiek voor de term (s 2 + 2ζω n s + ω 2 n) −1

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 186
De Exacte Bode diagramma’s van de kwadratische factor zijn afhankelijk ban ζ. De
Bode diagramma’s worden voor verschillende waarden van ζ voorgesteld in Figuur 6.29.
Figuur 6.29: Exacte Bode diagramma’s voor de kwadratische factor

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 187
6.6.3 Voorbeelden
Voorbeeld 6.11 Schets de bodeplot voor de transfertfunctie
Oplossing
H(s) =
10 4 (1 + s)
(10 + s)(100 + s)
Eerst herschrijven we H(s) in de standaardvorm
Dan
H(ω) =
10(1 + j ω/10)
(10 + j ω)(100 + j ω/100)
|H(ω)| dB = 20 log 10 10 + 20 log 10 |1 + j ω|
∣ ∣∣1 ω
∣ ∣∣1 ω
−20 log 10 + j ∣ − 20 log
10
10 + j ∣
100
Merk op dat er drie hoekfrequenties zijn, ω = 1, ω = 10 en ω = 100. Voor hoekfrequentie
ω = 1
|H(1)| dB = 20 + 20 log 10
√
2 − 20 log10
√
1.01 − 20 log10
√
1.0001 ≈ 23dB
Voor hoekfrequentie ω = 10
|H(10)| dB = 20 + 20 log 10
√
110 − 20 log10
√
2 − 20 log10
√
1.01 ≈ 37dB
Voor hoekfrequentie ω = 100
|H(100)| dB = 20 + 20 log 10
√
10001 − 20 log10
√
101 − 20 log10
√
2 ≈ 37dB
De Bode amplitude plot wordt in Figuur 6.30(a). Elke term welke bijdraagt tot de totale
amplitude wordt ook voorgesteld.
Als ω → 0
als ω → ∞
en
∠H(ω) = 0 + tg −1 ω − tg −1 ω 10 − ω
tg−1
100
∠H(ω) ≈ 0 − 0 − 0 − 0 = 0
∠H(ω) ≈ 0 + π 2 − π 2 − π 2 = −π 2
∠H(1) = 0 + tg −1 (1) − tg −1 (0.1) − tg −1 (0.01) = 0.676 rad
∠H(10) = 0 + tg −1 (10) − tg −1 (1) − tg −1 (0.1) = 0.586 rad
∠H(100) = 0 + tg −1 (100) − tg −1 (10) − tg −1 (1) = −0.696 rad
De Bode fase plot wordt voorgesteld in Figuur 6.30(b)

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 188
Figuur 6.30: Bode diagramma: (-) exacte vorm, (- -) asymptotische benadering

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 189
Voorbeeld 6.12 Geef de asymptotische Bode diagramma’s voor de transfertfunctie H(s)
Oplossing
H(s) =
10(s + 1)
s 2 (s 2 + 4s + 16)
Herschrijven van de transfertfunctie in de standaardvorm geeft
H(ω) =
10(j ω + 1)
(j ω)
(− ( ) 2 ω 2
).
4 +
j ω
+ 1 4
De amplitude wordt geschreven als
|H(ω)| dB = 20 log 10 10 + 20 log 10 |1 + j ω| − 40 log 10 |j ω| − 20 log 10
∣ ∣∣∣
1 + j ω 4 − ( ω
4
) 2
∣ ∣∣∣
.
De fase wordt als volgt uitgedrukt
∠H(ω) = ∠10 + ∠|j ω + 1| − ∠ ∣ ∣(j ω) 2∣ ∣ − ∠
∣ 1 + j ω ( ω
) ∣
2∣∣∣
4 − 4
De asymptotische Bode diagramma’s voor elk van deze termen worden in Figuur 6.31
voorgesteld.

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 190
Figuur 6.31: De asymptotische Bode plot