Hoofdstuk 6 Fourier Analyse

More documents

Recommendations

Info

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 160 Figuur 6.5: Exponentiële Fourier spectra voor het signaal x(t) in Figuur 6.1 (a) 6.1.3 Convergentie van de Fourier reeks Dirichlet condities Als x (t) voldoet aan bepaalde condities (Dirichlet condities) zal de Fourier reeks puntsgewijs convergeren in alle punten waar x (t) continu is. De condities zijn: 1. De functie x (t) moet absoluut integreerbaar zijn; dat is ∫ T 0 |x (t)| dt < ∞. (6.21) 2. De functie x (t) heeft een eindig aantal discontinuïteiten in een eindige periode en elke discontinuïteit is eindig. 3. De functie x (t) heeft een eindig aantal maxima en minima in een eindige periode. Alle praktische signalen voldoen aan deze condities. Fourier synthesis van discontinue functies: het Gibbs fenomeen Beschouw de rechthoekige pulstrein voorgesteld in Figuur 6.6. Het signaal is periodiek met fundamentele periode T 0 = 2 en met fundamentele radiale frequentie ω 0 = 2π 2 = π. Het signaal voldoet aan de Dirichlet condities en zijn trigoniometrische Fourier reeks representatie wordt gegeven door x (t) = 1 2 + ∞ ∑ n=−∞ n oneven 2 ( ( ) π ) nπ cos nπt + (−1) (n−1)/2 − 1 , − ∞ < t < ∞. (6.22) 2
HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 161 Figuur 6.6: Periodiek signaal met fundamentele periode T = 2 Gegeven k = (n + 1) ∈ N, stel x k (t) gelijk aan de eindige som x k (t) = 1 2 + k∑ n=1 n oneven 2 ( ( ) π ) nπ cos nπt + (−1) (n−1)/2 − 1 , − ∞ < t < ∞. (6.23) 2 Bij Fourier’s theorema, x k (t) zal convergeren naar x (t) als k → ∞. Met andere woorden |x k (t) − x (t)| gaat naar nul voor alle t als k groot wordt. Om dit aan te tonen wordt x k (t) afgebeeld voor verschillende waarden van k. Met k = 3, x k (t) wordt x 3 (t) = 1 2 + 2 π 2 cos (πt) + cos (3πt − π) , − ∞ < t < ∞. 3π Dit resulterend in de grafiek voorgesteld in Figuur 6.7(a). Het resultaat in Figuur 6.7(b) wordt bekomen door k = 10 te stellen. Vergelijken van Figuur 6.7(a) en Figuur 6.7(b) geeft aan dat x 10 (t) een betere benadering is van x (t). Stel k = 50, uitgezonderd voor de overshoot in de hoeken van de puls, de golfvorm in Figuur 6.7(c) is reeds een goede benadering van x (t) . Merk op in de grafiek, dat de magnitude van de overshoot ongeveer gelijk is aan 9%. Met k = 100 blijft de overshoot van 9% in de hoeken bestaan. Het resultaat wordt afgebeeld in Figuur 6.7(d). De overshoot in de hoekpunten van 9% blijft bestaan zelf als k → ∞. Deze karateristiek was eerst ontdekt door Josiah Willard Gibbs en de overshoot wordt het Gibbs fenomeen genoemd. Het Gibbs fenomeen is enkel aanwezig wanneer er een sprong discontinuïteit optreedt in x (t). Als een continu signaal x (t) wordt benadert door de eerste k termen van de Fourier reeks benadert x k (t) de functie x (t) voor alle t als k → ∞, maar er treedt geen Gibbs fenomeen op. Dit wordt voorgesteld in Figuur 6.7.
Page 1 and 2: Hoofdstuk 6 Fourier Analyse 6.1 Fou
Page 3 and 4: HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 155 Ui
Page 5 and 6: HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 157 n
Page 7: HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 159 Fi
Page 11 and 12: HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 163 6.
Page 13 and 14: HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 165 Co
Page 17 and 18: HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 169 (z
Page 19 and 20: HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 171 Ba
Page 23 and 24: HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 175 De
Page 25 and 26: HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 177 en
Page 29 and 30: HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 181 Fi
Page 31 and 32: HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 183 40
Page 33 and 34: HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 185 80
Page 37 and 38: HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 189 Vo

Hoofdstuk 6 Fourier Analyse

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?