Hoofdstuk 6 Fourier Analyse

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 184
6.6.2 Complexe polen of zero’s
Stel dat H(s) een kwadratische factor bevat van de vorm s 2 + 2ζω n s + ωn 2 met 0 < ζ < 1
en ω n > 0 (s 1,2 ∈ C). Stel s = jω en deel door ωn 2 zodat de kwadratische factor geschreven
wordt als ( jω
w n
) 2 + 2ζ
ω n
(jω) + 1. De magnitude in dB voor deze kwadratische factor wordt
( ) √
2 jω
+ 2ζ
( ) 2 (jω) + 1
= 20 log
∣ ω n ω n ∣ 10 1 − ω2
+
dB
ω 2 n
( 2ζω
ω n
) 2
(6.74)
Definieer de hoekfrequentie zodat ω hf
ω n
= 1. Een asymptotische constructie kan bekomen
worden voor lage frequenties, ω < ω n :
( ) 2 jω
+ 2ζ
(jω) + 1
≈ 20 log
∣ ω n ω n ∣ 10 (1) = 0dB (6.75)
dB
en voor hoge frequenties, ω > ω n :
( ) 2 jω
+ 2ζ
( ) 2
ω
(jω) + 1
≈ 20 log
∣ ω n ω n ∣ 10
ω n dB
( ) ω
= 40 log 10
ω n
(6.76)
De asymptoot bij hoge frequenties is een rechte met richtingscoëfficiënt 40 dB/decade. De
asymptotische benadering voor de magnitude van de kwadratische factor wordt voorgesteld
in Figuur 6.27. In dit geval is het verschil tussen de asymptotische benadering en
de exacte grafiek afhankelijk van de parameter ζ. De fase voor deze kwadratische factor
wordt
( ) (
2 jω
∠
+ 2ζ
(jω) + 1
∣ ω n ω n ∣ = tg−1
2ζω
ω n
1 − ω2
ω 2 n
)
(6.77)
Een asymptotische constructie kan bekomen worden voor lage frequenties, ω < ω n :
( ) 2 jω
∠
+ 2ζ
( )
0
(jω) + 1
∣ ω n ω n ∣ ≈ tg−1 = 0 ◦ (6.78)
1
en voor hoge frequenties, ω > ω n :
( ) 2 jω
∠
+ 2ζ
( )
(jω) + 1
∣ ω n ω n ∣ ≈ 2ζωn
tg−1 ≈ 180 ◦ (6.79)
−ω
De overgang tussen de lage- en hoge frequentie asymptoten is een rechte over 2 decaden
vanaf 0.1ω n tot 10ω n met richtingscoëfficient 90 ◦ /decade zoals geïllustreerd in Figuur
6.28. Als de kwadratische factor in de noemer voorkomt, (s 2 + 2ζω n s + ω 2 n) −1 , worden de
asymptotische benaderingen voorgesteld in Figuur 6.28.