Hoofdstuk 6 Fourier Analyse

HOOFDSTUK 6. FOURIER ANALYSE 172
Voorbeeld 6.7 Los volgende differentiaalvergelijking op met Fourier transformatie
waarbij x(t) = u(t)
Oplossing
dy(t)
dt
Toepassen van Fourier transformatie geeft
+ 2y(t) = x(t)
j ωY (ω) + 2Y (ω) = X(ω)
hieruit volgt dat de frequentierespons H(ω) gegeven wordt door
De uitgangsrespons wordt gegeven door
Splitsen in partieelbreuken geeft
H(ω) = Y (ω)
X(ω) = 1
2 + j ω
Y (ω) = H(ω)X(ω)
(
1
= πδ(ω) + 1 )
2 + j ω j ω
= πδ(ω)
2 + j ω + 1
j ω(2 + j ω)
= π 2 δ(ω) + 1
j ω(2 + j ω) .
1
j ω(2 + j ω = A
j ω + B
j ω + 2
met A = 1/2 en B = −1/2 wordt de uitgangsrespons
Y (ω) = π 2 δ(ω) + 1
2j ω − 1
2(2 + j ω
= 1 (
πδ(ω) + 1 )
− 1 ( ) 1
2 j ω 2 2 + j ω
= 1 2 u(t) − 1 2 e−2t u(t)
= 1 2
(
1 − e
−2t ) u(t)
Merk op dat het gebruik van de Laplace transformatie gemakkelijker is dan de Fourier
transformatie omwille van de Fourier transformatie van de stapfunctie u(t).