ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ.pdf - Nemertes

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΑΠΛΩΝ ΗΜΙΤΟΝΟΕΙΔΩΝ
ΣΗΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΤΗΝ ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΘΟΡΥΒΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : REFORMED PISARENKO HARMINIC
DECOMPOSER(RPHD)
ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ LP ΓΙΑ ΤΗΝ
ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ
Το μοντέλο σήματος ενός πραγματικού τόνου είναι: x(n)=s(n)+q(n), n=1,2…N (1).
Όπου s(n)=a cos (ω0n +φ) (2). Ο θόρυβος q(n) θεωρείται ότι είναι λευκός θόρυβος
με μηδενική μέση τιμή Ε[q(n)]=0 και διασπορά σq2 και οι a, ω0 ,φ είναι
ντετερμινιστικές αλλά άγνωστες σταθερές οι οποίες υποδηλώνουν το πλάτος, την
συχνότητα και την φάση του σήματος αντίστοιχα, με a, ω0 Ԑ (0,π) και φ Ԑ [0,2π).Υπό
την απουσία θορύβου η (1) x(n)=s(n) και η s(n) βάσει της ιδιότητας της γραμμικής
πρόβλεψης LP, μπορεί να προβλεφθεί από τα προηγούμενα δείγματά της μέσω του
τύπου: s(n)=2cos(ω0)s(n-1)-s(n-2) (3).
Έτσι λοιπόν καθορίζουμε μία συνάρτηση σφάλματος e(n) η οποία δίνεται από τον
τύπο e(n)=x(n)-2cos(λ)x(n-1)+x(n-2) (4), όπου τώρα η λ είναι η παράμετρος που
πρέπει να διερευνηθεί. Σύμφωνα με την MC (Μοdified Covariance) μέθοδο ο
εκτιμητής συχνότητας είναι αυτός που ελαχιστοποιεί το άθροισμα του τετραγώνου
της συνάρτησης σφάλματος e(n).Έχουμε λοιπόν ότι:
3.1
cos
N
x( n 1) x( n) x( n 2)
MC 1 n3
0
N
2
2 x ( n1)
n3
(5)
C
0
N
2
arg min{ e ( n)}
Αυτός ο εκτιμητής καθώς και οι στατιστικές του ιδιότητες έχουν αναλυθεί δείχνοντας
πως είναι ένας μη-αμερόληπτος εκτιμητής υπό την παρουσία θορύβου. Το
παραπάνω μπορεί εύκολα να αποδειχθεί υπολογίζοντας την μέση τιμή του
τετραγώνου της συνάρτησης σφάλματος e2(n). Έχουμε λοιπόν ότι:
2 2
E{ e ( n)} E{[ x( n) 2cos( )
x( n 1) x( n 2) }
E{ e ( n)} [ acos( n ) 2 cos( )cos( ( n 1) ) cos( ( n 2) )]
2 2
0 0 0
2 2 2
E{ e ( n)} [2a cos( 0)cos( 0( n 1) ) 2acos( )cos( 0( n 1) )] 2(2 cos(2 )) q
E{ e ( n)} 8 a / 2cos ( ( n 1) )(cos( ) cos( )) 2(2 cos(2 )) q
2 2 2 2 2
0 0
n3
(6)
Σελ. 40