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γ
lunghezza(γ) = |r ′ (θ)| dθ = 3
I
5π
0
3
1 + θ2 dθ = 5π
2
1 + 25π2 + log(5π + 1 + 25π2
) ,
√ 1 + t 2
µ(x(θ), y(θ)) = µ(ρ(θ) cos θ, ρ(θ) sin θ) = ρ 2 (θ) = 9θ 2 .
massa(γ) = µ(x(θ), y(θ)) ˙x 2 (θ) + ˙y 2 (θ) dθ = 27
I
5π
0
θ 2 1 + θ 2 dθ.
w = 2θ 2 + 1 √ w 2 − 1
5π
50 2 π+1
massa(γ) = 27 θ
0
2 1 + θ2 dθ = 27
w2 − 1 dw
8 1
= 27
1
2
+ 50π (1 + 50π
16
2 ) 2
− 1 − log 1 + 50π 2
+ (1 + 50π2 ) 2
− 1 .
T r
z a a > r
C r zy (0, a, 0)
C := {(0, s cos φ + a, s sin φ) : 0 ≤ s ≤ r, φ ∈ [0, 2π]}
θ ∈ [0, 2π] (x, y, z) z θ
( x 2 + y 2 cos θ, x 2 + y 2 sin θ, z)
T := {(|s cos φ + a| cos θ, |s cos φ + a| sin θ, s sin φ) : ρ, φ ∈ [0, 2π], 0 ≤ s ≤ r}
a > r s cos φ + a > −s + a > −r + a > 0
T := {((s cos φ + a) cos θ, (s cos φ + a) sin θ, s sin φ) : ρ, φ ∈ [0, 2π], 0 ≤ s ≤ r},
T
ϕ(s, θ, ϕ) = ((s cos φ + a) cos θ, (s cos φ + a) sin θ, s sin φ).
T
V =
T
dx dy dz.
⎛
cos φ cos θ −(s cos φ + a) sin θ
Jac(ϕ)(s, θ, ϕ) = ⎝ cos φ sin θ (s cos φ + a) cos θ
⎞
−s sin φ cos θ
−s sin φ sin θ ⎠ .
sin φ 0 s cos φ
det Jac(ϕ)(s, θ, ϕ) = sin φ(s(s cos φ + a) sin 2 θ sin φ + s sin φ cos 2 θ(s cos φ + a))+
+ s cos φ(cos φ cos 2 θ(s cos φ + a) + (s cos φ + a) sin 2 θ cos φ)
= s sin 2 φ(s cos φ + a) + s cos 2 φ(s cos φ + a)
= s(s cos φ + a) > 0