pdf (it, 2.898,97 KB, 25/01/13)

√ √
2π
12 Area(L) := 12
:= √ 12
:= √ 12
f( √ 12 cos θ, √ 12 sin θ)
0 λ
2π 6 cos θ sin θ
0
2π
0
λ
dz dθ
√ 12dz dθ
6 cos θ sin θ − λ dθ = 24πλ.
12π
I1 := F · ˆn dσ,
S1
F := (xz, xy, yz) S1 = ∂C C = {(x, y, z) ∈ R 3 : x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x + y + z ≤ 1}
C
F · ˆn dσ = divF dxdydz = (x + y + z) dxdydz.
S1
1 1−z 1−z−y
(x + y + z) dxdydz =
(x + y + z)dx dy dz
C
I1 = 1/8
=
=
C
0 0 0
1 1−z 1−z−y
0 0
1 1−z
= 1
2
= 1
2
= 1
2
= 1
6
0 0
1 1−z
C
x2 x=1−z−y
+ yx + zx dy dz
0 2 x=0
(1 − z − y) 2
+ (y + z)(1 − z − y) dy dz
2
(1 − z − y)(1 + y + z) dy dz
0 0
1 1−z
(1 − (z + y)
0 0
2 ) dy dz w=y+z
= 1
1 1
2 0 z
1 w=1 1
0
1
0
w − w3
3
w=z
(2 − 3z + z 3 ) dz = 1
6
2 z3
− z +
3 3
dz = 1
2 0
2 − 3
1
+
2 4
= 1
8 .
(1 − w 2 ) dw dz
F : R 3 → R 3 F (x, y, z) = (y 2 , 0, x − y)
F S z = 1 − x 2 − y 2
(x, y) ∈ D := {(x, y) ∈ R 2 : x ≥ 0, y ≤ 0, x 2 + y 2 ≤ 1}
S
φ(x, y) = (φ1(x, y), φ2(x, y), φ3(x, y)) = (x, y, 1 − x 2 − y 2 ).
S G(x, y) = x 2 + y 2 + z − 1 = 0
∇G(x, y) = (2x, 2y, 1).
dz