pdf (it, 2.898,97 KB, 25/01/13)

Γ = {(x, y) ∈ R 2 : x 3 − 3xy + y 3 = 0},
y = ϕ(x) C 1 x 3 − 3xy + y 3 = 0
f(x, y) = x 3 − 3xy + y 3 f(x, y) = f(y, x) Γ
∇f(x, y) = 3(x 2 − y, y 2 − x) (0, 0) (1, 1)
(0, 0) f(0, 0) = 0 f(1, 1) = 0 (0, 0)
f
Γ x = k k ∈ R f(k, y) = 0 k 3 − 3ky + y 3 = 0
f
y = ϕ(x)
pk(y) := k 3 − 3ky + y 3
k
pk(y) y x = k Γ
x Γ
pk(y) y x = k Γ
x Γ
y ↦→ pk(y) p ′ k (y) = 3(y2 − k) p ′′
k
(y) = 6y
k < 0 y ↦→ pk(y) p ′ k (y) > 0
yk pk(0) = k3 < 0 y3 k > 0
x < 0 y = y(x) ∈]0, +∞[ (x, y(x)) ∈ Γ
k = 0 p0(y) = y3 0 (0, y) ∈ Γ y = 0
k > 0 pk y± = ± √ k pk(·)
√ k p ′ k (√ k) = 0 p ′′
k (√ k) = 6 √ k > 0 − √ k
pk(·) y < − √ k |y| < k
y > k
pk(− √ k) = k 3 + 3k 3/2 − k 3/2 > pk( √ k) = k 3/2 (k 3/2 − 2).
lim
y→−∞ pk(y) = −∞ pk(− √ k) > 0 pk ] − ∞, − √ k[
pk(·) x > 0
y ∈ R (x, y) ∈ Γ y ≤ √ x
pk( √ k)
pk(·)
k 3/2 − 2 > 0 k > 3√ 4
0 < k < 3√ 4