pdf (it, 2.898,97 KB, 25/01/13)

R2 \ {y = 0}
h(x, y)ω(x, y) = y dx + x − 1
dy.
y
H + = {(x, y) : y > 0} H − = {(x, y) : y <
0}
V + V − H + H −
H + (0, 1) (x0, y0) H +
γ = γ1 ∪ γ2 γ1(x) = (x, 0)
0 ≤ x ≤ x0 x0 ≤ x ≤ 0 γ2(y) = (x0, y) 1 < y < y0 0 < y0 ≤ y ≤ 1
V +
x0
y0
(x0, y0) = h(x, y)ω(x, y) + h(x, y)ω(x, y) = dx + x0 − 1
dy
y
γ1
γ2
= x0 + [x0y − log |y|] y=y0
y=1 = x0 + x0y0 − log y0 − x0 = x0y0 − log y0
V + (x, y) = xy−log y y > 0 H + V + (x, y) =
c c ∈ R
V − H − (0, −1)
(x0, y0) H +
γ = γ1 ∪ γ2 γ1(x) = (x, 0) 0 ≤ x ≤ x0 x0 ≤ x ≤ 0 γ2(y) = (x0, y)
−1 < y < y0 < 0 y0 ≤ y ≤ −1
V −
(x0, y0) = h(x, y)ω(x, y) +
=
γ1
x0
0
γ2
y0
−1 dx + x0 −
−1
1
y
0
h(x, y)ω(x, y)
= −x0 + [x0y − log |y|] y=y0
y=−1 = x0 + x0y0 − log |y0| + x0
= x0y0 − log |y0| = x0y0 − log(−y0),
y0 < 0 V − (x, y) = xy − log y y < 0
H − V − (x, y) = c c ∈ R
V (x, y) = xy − log |y| R 2 \ {y = 0}
R 2 \ {y = 0} xy − log |y| = c c ∈ R
y ′ = y(1 − y)
y ′ = (x + y) 2 − (x + y) − 1
y ′ − y = e x√ y
y(x) = 0 y(x) = 1 y = 0, 1
dy
1
y(1 − y) dy − dx = 0.
0 < y < 1
1
x − dy = c, c ∈ R.
y(1 − y)
1
dy =
y(1 − y)
=
1
dy =
y(1 − y)
2dy
1 − (2y − 1) 2 =
1
dy =
y − y2 dt
√ 1 − t 2
1
dy
1/4 − (y − 1/2) 2
= arcsin(t) = arcsin(2y − 1).