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u(x) = 4
π
∞
sup
n2 n=1
x∈R
sin n π
2
∞
n=1
sin n π
2
n2 sin(nx).
sin(nx)
≤
∞
n=1
1
< ∞,
n2 u g(x) = x [0, π]
[−π, π] 2π R u
S1 :=
n=1
∞
k=0
1
(2k + 1) 2 , S2 :=
a0 = 2
π
x = π
π 0
an = 2
π
x cos(nx) dx =
π 0
2
x=π x sin(nx)
π n x=0
x = π
∞ 2 1 − (−1)
−
2 π
n
n2 cos(nx) = π 4
−
2 π
∞
n=1
1
.
n2 − 2
π
sin(nx) dx = −
nπ 0
2
n2π (1 − (−1)n ),
∞
k=0
cos(2k + 1)x
(2k + 1) 2 .
1/n2
x = 0
0 = π
∞ 4 1
− .
2 π (2k + 1) 2
S2 =
∞
n=1
1
=
n2 ∞
k=1
∞
k=0
1
+
(2k + 1) 2
k=0
1 π2
=
(2k + 1) 2 8 .
∞
k=1
1
(2k) 2 = S1 + 1
4
S2 = 4
3 · S1 = π2
6 .
∞
k=1
1
k 2 = S1 + S2
4 ,