pdf (it, 2.898,97 KB, 25/01/13)

z = (x, y) ˙z = Az + B(t)
−2
A =
−5
−3
,
−1
3e−2 B(t) =
0
.
T = tr(A) = −3 D = det(A) = −13 λ2 − T λ + D = 0
λ2 + 3λ − 13 = 0
λ1 = 1
−3 −
2
√
61 , λ2 = 1
−3 +
2
√
61 .
D = 0 (0, 0)
−3y = ˙x + 2x − 3e
−2t
˙y = −5x − y
−3 ˙y = ¨x + 2 ˙x + 6e−2t ˙y
−3(−5x − y) = ¨x + 2 ˙x + 6e −2t .
¨x + 2 ˙x − 15x − 3y + 6e −2t = 0
y
¨x + 2 ˙x − 15x + ( ˙x + 2x − 3e −2t ) + 6e −2t = 0.
x
¨x + 2 ˙x − 15x + ˙x + 2x − 3e −2t + 6e −2t = 0.
¨x − (−2 − 1) ˙x + (2 − 15)x − 3e −2t + 6e −2t = 0
¨x − T ˙x + D x = −3e −2t
c1e λ1t + c2e λ2t
−2
qe −2t q ∈ R e −2t 4q − 6q − 13q = −3 q = 1/5
x(t) = c1e λ1t + c2e λ2t + 1
5 e−2t
˙x(t) = c1λ1e λ1t + c2λ2e λ2t − 2
5 e−2t .
y(t) = − 1
3
c1λ1e λ1t + c2λ2e λ2t − 2
= 1 1
e− 2(3+
6 √ 61)t
−
⎧
1
⎨
−
x(t) = c1e
c1, c2 ∈ R
⎩y(t)
= 1
6
1 + √ 61
5 e−2t
+ 2
c1e
√ 61t +
2(3− √ 1
61)t −
+ c2e 2(3+ √ 61)t e + −2t
5
1
e− 2(3+ √ 61)t
c1e λ1t
+ c2e λ2t 1
+
5 e−2t
√
61 − 1 c2 + 6e 1
2( √ 61−1)t
.
− 3e −2t
− 1 + √ 61 c1e √ √
61t + 61 − 1 c2 + 6e 1
2( √ 61−1)t
a ∈ R
x ′ (t) = t − x 2 (t),
x(0) = a,