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x = 0 1/n
x > 0
e −(n+1)x
n + 1 + x
e −nx
−x n + x
= e
n + x + 1
= e−x
1
1 + 1
n+x
n + x
x > 0
s(·) {sN}N∈N
c > 0 sup
< 1,
fn(x) = e−nx
n + x , f ′ n(x) = −e −nx 1 + n2 + nx
(n + x) 2 .
f ′ n(x) = 0 x = −(1 + n 2 )/n < 0 fn(x) [c, +∞[
∞
sup |fn(x)| = fn(c),
x∈]c,+∞[
sup
n=0 x∈]c,+∞[
|fn(x)| =
∞
fn(c),
]c, +∞[
]0, +∞[ M > N + 1
∞
e
|s(x) − sN(x)| = sup
−nx
n + x −
N e−nx
∞
e
= sup
n + x
−nx
M
e
≥ sup
n + x
−nx
n + x
sup
x>0
x>0
n=0
n=0
n=0
x>0
n=N+1
{xj}j∈N xj → 0 +
∞
n=N+1
sup
1
n
x>0
M
n=N+1
e−nx
≥ lim
n + x
j→∞
M
n=N+1
e−nxj
n + xj =
+∞ M > 0
∞ e
sup
−nx
n + x −
x>0
n=0
N e−nx
> N
n + x
n=0
M
n=N+1
M
n=N+1
1
n
.
x>0
n=N+1
1
> N
n
N → ∞ +∞ ]0, +∞[
∞ n
n
n=1
3
+ x
[0, +∞[
1/n2 [0, +∞[
∞
sup
n
n3
+ x
≤
+∞ 1
< +∞,
n2 n=1
x≥0
∞ n + x
n
n=1
3 [0, +∞[
+ x
[0, +∞[ [0, +∞[
n=1