Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

09.12.15
Mál- og tegurfræði
fyrirlestrar Ragnars Sigurðssonar
Líney Halla Kristinsdóttir
Háskóli Íslands
haustönn 2007

Efnisyrlit
1 Frumatriði um málrúm 1
1.1 Aðgerðir á mengjum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Varpanir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Málrúm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Heildi jákvæðra falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Heildanleg föll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Nokkrar aeiðingar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Nokkur hugtök úr líkindafræði . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Lebesgue-málið á R 23
2.1 Eiginleikar Lebesgue-málsins á R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Fullkomin málrúm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Borel-algebran og Lebesgue-algebran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Riemann-heildið . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Margfeldi málrúma 33
3.1 Margfeldi mengjaalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Margfeldi tveggja mála . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Einhalla mengjaokkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Tvöfalt heildi sem ítrekað einfalt heildi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.1 Snið mengja og falla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Lebesgue-málið á R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
i

4 L p -rúm 45
4.1 Kúpt föll og ójafna Jensens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Ójafna Minkovskis í almennri gerð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5 Alsamfelld mál 53
5.1 Sundurliðun á hleðslum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.2 Sundurlæg mál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6 Tvírúm (nykurrúm) L p -rúma 61
7 Földun 67
7.1 Földun og deildun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2 Földun og nálganir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.2.1 Dirac-runur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8 Fourier-ummyndun 73
8.1 Fourier-ummyndun á L 2 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
8.2 Fourier-ummyndun mála og hleðslna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.3 Veik samleitni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.3.1 Hagnýtingar í líkindafræði . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
ii

Kai 1
Frumatriði um málrúm
Við þurfum að skilgreina
mengi
heildistákn
f
fall
µ - mál
X
∫
∫
X
f dµ
1.1 Aðgerðir á mengjum
Látum X vera mengi og P(X) veldismengi þess, sem samanstendur af öllum hlutmengjum
í X.
(1.1) Skilgreining Ef I er mengi og A i ∈ P(X) fyrir öll i ∈ I, þá skilgreinum við
Sammengi:
Sniðmengi:
Sérstaklega gildir að
⋃
i∈I
⋂
i∈I
⋃
A i = ∅
i∈∅
A i = {x ∈ X; til er i ∈ I þannig að x ∈ A i }
A i = {x ∈ X; x ∈ A i fyrir öll i ∈ I}
og
⋂
A i = X
Fyllimengi A ∈ P(X) er X \ A = {x ∈ X; x ∉ A}. Einnig táknað A ′ , A c , ∁A, . . .
(1.2) Reglur de Morgans
( ) ′ ⋃
A i = ⋂ A ′ i og
i∈I
i∈I
i∈∅
( ) ′ ⋂
A i = ⋃ A ′ i
i∈I
i∈I
Við táknum náttúrlegu tölurnar með N = {0, 1, 2, . . .} og setjum N ∗ = {1, 2, 3, . . .}.
1

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
Við höfum
og
⋃
A n =
n∈N
n ⋃
i=1
A i =
+∞ ⋃
A n
n=0
⋃
i∈{1,...,n}
(1.3) Skilgreining Mengjaalgebra á X er X ⊆ P(X) sem uppfyllir:
(i) ∅ ∈ X
(ii) Ef A ∈ X, þá er A ′ ∈ X
(iii) Ef A 1 , A 2 ∈ X, þá er A 1 ∪ A 2 ∈ X
(1.4) Athugasemd Með þrepun fæst
og
A 1 , . . . , A n ∈ X
n⋂
A i =
i=1
⇒
A i
n⋃
A i ∈ X
i=1
(
n⋂
n ′
⋃
(A ′ i) ′ = A i) ′ ∈ X
i=1
(1.5) Setning Mengjaalgebra X á X er safn hlutmengja af X sem inniheldur ∅ og X
og er lokuð við þær aðgerðir að taka fyllimengi og endanlega snið- og sammengi.
(1.6) Skilgreining σ-algebra á X er X ⊆ P(X) sem uppfyllir (i) og (ii) og
(iii)' Ef A i ∈ X , i = 1, 2, 3, . . ., þá er ⋃ +∞
i=1 A i ∈ X.
(Þ.e. teljanleg sammengi í stað endanlegra.)
(1.7) Setning
(i) Allar σ-algebrur eru mengjaalgebrur.
(ii) σ-algebra X á X er safn hlutmengja af X sem inniheldur ∅ og X og er lokuð við
þær aðgerðir að taka fyllimengi og teljanleg snið- og sammengi.
(1.8) Athugasemd
(i) {∅, X} er minnsta σ-algebran á X og P(X) sú stærsta.
(ii) Ef X i , i ∈ I eru σ-algebrur á X, þá er
σ-algebra á X.
(1.9) Skilgreining Ef A ⊆ P(X) og við látum I vera mengi allra σ-algebra sem
innihalda A, þá fæst
A σ = ⋂ X ∈I
X
⋂
i∈I
i=1
sem er minnsta σ-algebran sem inniheldur mengið A.
2
X i

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
(1.10) Skilgreining Mælanlegt rúm er mengi X ásamt σ-algebru X á X. Oft
skrifað sem par: (X, X ).
(1.11) Skilgreining Grannmynstur á X er hlutmengi T ∈ P(X) sem uppfyllir:
(i) ∅, X ∈ T .
(ii) Ef I er mengi, A i ∈ T , i ∈ I, þá er ⋃ i∈I A i ∈ T .
(iii) Ef I er endanlegt mengi, A i ∈ T , i ∈ I, þá er ⋂ i∈I A i ∈ T .
Grannrúm er mengi X með grannmynstri T .
(1.12) Dæmi Ef (X, d) er rðrúm og við látum T vera safn allra opinna mengja á X,
þá er T grannmynstur á X.
(1.13) Skilgreining Borel-algebran á grannrúmi (X, T ) er minnsta σ-algebran
sem inniheldur T ,
B X = B (X,T ) = T σ
(1.14) Dæmi X = R, þá er Borel-algebran á R minnsta σ-algebran sem inniheldur
öll opin mengi. Eins má segja að B R sé minnsta σ-algebran sem inniheldur öll opin bil
]α, β[, α, β ∈ R, α ≤ β (Ath ]0, 0[= ∅). ♦
♦
1.2 Varpanir
Látum nú X og Y vera tvö mengi og
f : X → Y
vera vörpun. Vörpunin f gefur af sér a.m.k. tvær mengjavarpanir:
Ef A ⊆ P(X), þá er
Ef B ⊆ P(Y ), þá er
f : P(X) → P(Y )
f(A) = {f(x); x ∈ A}
f [−1] : P(Y ) → P(X)
f [−1] (B) = {x ∈ X; f(x) ∈ B}
}
}
f(A) = {f(A); A ∈ A} ⊆ P(Y )
mynd
f [−1] (B) = {f [−1] (B); B ∈ B} ⊆ P(X)
frummynd
(1.15) Skilgreining Mælanleg vörpun f : X → Y millimælanlegrarúma (X, X )
og (Y, Y) er vörpun sem uppfyllir
f [−1] (B) ∈ X , B ∈ Y.
3

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
Ef f er fall f : X → R þar sem (X, X ) er mælanlegt rúm, þá segjum við að f sé
mælanlegt ef það er mælanlegt sem vörpun með B R í hlutverki Y. Því er f mælanlegt
þþaa f [−1] (U) sé mælanlegt fyrir sérhvert U ∈ B R .
(1.16) Athugasemd f : (X, X ) → (Y, Y) er mælanleg þþaa f [−1] (Y) ⊆ X.
Eftirfarandi setningar eru teknar fyrir í dæmum 1.3.5-7:
(1.17) Setning
(i) Ef Y er σ-algebra, þá er f [−1] (Y) einnig σ-algebra.
(ii) Ef X er σ-algebra á X, þá er
Y = {E ∈ P(Y ); f [−1] (E) ∈ X }
σ-algebra á Y .
(iii) Ef A ⊆ P(Y ), þá er (f [−1] (A)) σ = f [−1] (A σ ).
(1.18) Setning Eftirfarandi er jafngilt fyrir vörpun f : (X, X ) → (Y, Y):
(i) f er mælanleg.
(ii) f [−1] (Y) ⊆ X .
(iii) f [−1] (A) ⊆ X fyrir sérhvert A ⊆ P(Y ) þ.a. A σ = Y.
(iv) f [−1] (A) ⊆ X fyrir eitthvert A ⊆ P(Y ) þ.a. A σ = Y.
Við munum mest fást við mælanleg raungild föll og það reynist vera mikilvægt að hafa
marga möguleika til að velja A, þegar 1.18(iv) er beitt.
(1.19) Setning (Lýsing á B R ) B R = A σ , þar sem A er eitt mengjanna:
(i) A = {]α, +∞[; α ∈ R}
(ii) A = {[α, +∞[; α ∈ R}
(iii) A = {]−∞, α[; α ∈ R}
(iv) A = {]−∞, α]; α ∈ R}
(v) A = {]α, β[; α, β ∈ R, α ≤ β}
(vi) A = {[α, β]; α, β ∈ R, α ≤ β}
(1.20) Skilgreining Útvíkkaða talnalínan er
R = R ∪ {−∞, +∞}
þar sem −∞ og +∞ mega ekki tákna rauntölur.
Við skilgreinum grannmynstur á R með því að segja að mengi U ⊂ R sé opið ef það er
sammengi af mengjum af gerðinni
[−∞, α[, ]β, γ[, ]δ, +∞], α, β, γ, δ ∈ R
Við fáum þá Borel-algebru B R
á R.
4

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
(1.21) Skilgreining Við segjum að fall f : X → R sé X-mælanlegt ef
f −1 (A) ∈ X ,
∀A ∈ B R
(1.22) Reikniaðgerðir á R Við útvíkkum reikniaðgerðirnar á R þannig að víxlreglur
gildi og setjum
a + (+∞) = +∞
a + (−∞) = −∞
(+∞) + (+∞) = +∞
(−∞) + (−∞) = −∞
(+∞) + (−∞) = 0
⎧
⎪⎨ +∞
a · (+∞) = 0
⎪⎩
−∞
⎧
⎪⎨ −∞
a · (−∞) = 0
⎪⎩
+∞
(−∞) · (+∞) = −∞
(+∞)(+∞) = +∞
(−∞)(−∞) = +∞
Getum ekki skilgreint (+∞) + (−∞).
a ∈ R
a ∈ R
a > 0
a = 0
a < 0
a > 0
a = 0
a < 0
(1.23) Setning B R
= A σ , þar sem A ⊂ P(R) er eitt mengjanna:
(i) A = {]α, +∞]; α ∈ R}
(ii) A = {[α, +∞]; α ∈ R}
(iii) A = {[−∞, α[; α ∈ R}
(iv) A = {[−∞, α]; α ∈ R}
(v) A = {]α, β[; α, β ∈ R, α ≤ β}
(vi) A = {[α, β]; α, β ∈ R, α ≤ β}
(1.24) Setning Fallið f : X → R er mælanlegt ef og aðeins ef fallið g : X → R sem
skilgreint er með
g(x) =
{
f(x), ef f(x) ∈ R ,
0 , ef f(x) ∈ {+∞, −∞},
og mengin f [−1] ({−∞}) og f [−1] ({+∞}) eru mælanleg.
Sönnun. ⇒: G.r.f. að f sé mælanlegt, þá eru öll mengi af gerðinni
í X og þar með er
{x ∈ X; f(x) > n} = f [−1] (]n, +∞])
( +∞
)
⋂
f [−1] ({+∞}) = f [−1] ]n, +∞] =
+∞ ⋂
n=1
n=1
f [−1] (]n, +∞]) ∈ X
5

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
Eins fæst að
(( +∞
) ′ ) (
⋃
+∞ ′
⋃
f [−1] ({−∞}) = f [−1] ] − n, +∞] = f [−1] (] − n, +∞]))
∈ X
Lítum nú á fallið g:
n=1
n=1
g [−1] (]α, +∞[) = f [−1] (]α, +∞]) \ f [−1] ({+∞}) ∈ X ef α ≥ 0
g [−1] (]α, +∞[) = f [−1] (]α, +∞]) \
(
)
f [−1] ({+∞}) ∪ f [−1] ({−∞})
∈ X ef α < 0
⇐: Öfugt, ef f [−1] ({−∞}) og f [−1] ({+∞}) eru mælanleg mengi og g mælanlegt fall
f [−1] (]α, +∞]) =
{
g [−1] (]α, +∞[) ∪ f [−1] ({+∞}) ∈ X α ≥ 0
g [−1] (]α, +∞[) \ f [−1] ({−∞}) ∈ X α < 0
(1.25) Skilgreining Útvíkkaða tvinntalnaplanið er
Ĉ = C ∪ {∞}
Látum ∞ tákna punkt sem er ekki tvinntala. Skilgreinum grannmynstur T á
mengi allra Ĉ sem
U ⊆ Ĉ þ.a. U er opið í C eða U = V ∪ {∞} þar sem V er opið í C og
V ⊇ {|z| > R} fyrir eitthvert R > 0.
(1.26) Skilgreining Tvinngilt fall f : X → C er sagt vera X-mælanlegt ef
f [−1] (U) ∈ X , fyrir öll opin U ∈ C
Fall f : X → Ĉ er X-mælanlegt ef
f [−1] (U) ∈ X , fyrir öll opin U ∈ Ĉ
(1.27) Setning Fall f : X → Ĉ er mælanlegt þþaa mengið f [−1] ({∞}) sé mælanlegt
og fallið
er mælanlegt.
Sönnun. Æng.
g : X → C, g(x) =
{
f(x) x ∈ C
0 x = ∞
(1.28) Setning Látum g : X → R og h : X → R vera föll og skilgreinum f : X → Ĉ
með
f(x) =
{
g(x) + ih(x), g(x), h(x) ∈ R
∞
annars
Þá er f mælanlegt ef (og aðeins ef?) föllin g og h eru mælanleg og mengin g [−1] ({−∞}),
g [−1] ({+∞}), h [−1] ({−∞}) og h [−1] ({+∞}) eru mælanleg.
Sönnun. Æng.
□
6
□

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
(1.29) Táknmál Mengi allra X-mælanlegra falla f : X → R er táknað með
M R (X, X )
Mengi allra X-mælanlegra falla f : X → [0, +∞] er táknað með
M + R (X, X )
Mengi allra X-mælanlegra falla f : X → (C eða Ĉ) er táknað með
M C (X, X ) og MĈ(X, X )
(1.30) Setning Ef (f n ) er runa í M R (X, X ) þá er
inf f n ∈ M(X, X )
n∈N
f n ∈ M(X, X )
sup
n∈N
lim inf f n ∈ M(X, X )
n→+∞
lim sup f n ∈ M(X, X )
n→+∞
Ef (f n ) er samleitin í sérhverjum punkti, þá er markfallið í M(X, X ).
Sönnun. Athugum
f = inf
n∈N f n ( þ.e. f(x) = inf
n∈N f n(x) )
Skv. setningum (1.18) og (1.23) dugir að sýna að f [−1] ([α, +∞]) ∈ X fyrir öll α ∈ R.
Athugum næst
f [−1] ([α, +∞]) = {x ∈ X; f(x) ≥ α} =
F = sup f n
n∈N
+∞ ⋂
n=1
Dugir að sanna að F [−1] ([−∞, α]) ∈ X fyrir öll α ∈ R
F [−1] ([−∞, α]) = {x ∈ X; F (x) ≤ α} =
Fyrri tvær reglurnar gefa
og
+∞ ⋂
n=1
lim inf f n = sup( inf f n) ∈ M(X, X )
n→+∞ n≥m
m
lim sup f n = inf ( sup f n ) ∈ M(X, X )
n→+∞ m n≥m
{x ∈ X; f n (x) ≥ α} ∈ X
{x ∈ X; f n (x) ≤ α} ∈ X
(1.31) Setning M R (X, X ) er algebra yr R, þ.e.a.s. ef f, g ∈ M(X, X ) og a ∈ R, þá
eru f + g, f · g og af í M(X, X ).
7

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
(1.32) Skilgreining Ef f : X → R er fall þá skilgreinum við f + , f − : X → R + =
[0, +∞] með
f + (x) = max{f(x), 0}
(1.33) Setning
f − (x) = max{−f(x), 0}
(1) Ef f er mælanlegt þá eru f + og f − mælanleg.
(2) Ef f er mælanlegt þá er |f| = f + + f − mælanlegt.
(3) Ef f ∈ M + R (X, X ), þá er √ f ∈ M + R (X, X )
(1.34) Skilgreining Kennifall mengis A ⊆ X er χ A
Athugum að
χ A (x) =
{
1 x ∈ A
0 x ∉ A
χ −1
A (]−∞, α[) = ⎧
⎪⎨
⎪ ⎩
∅ α ≤ 0
A ′ 0 < α ≤ 1
X α > 1
(1.35) Setning χ A er mælanlegt þþaa mengið A sé mælanlegt.
(1.36) Skilgreining Fall
⎧
⎪⎨
ϕ : X →
⎪⎩
Ĉ
er sagt vera einfalt ef það tekur endanlega mörg gildi.
Ef a 1 , . . . , a n eru þessi gildi, a j ≠ a k ef j ≠ k, þá fáum við framsetningu
þar sem
ϕ =
Athugið að E j ∩ E k = ∅ ef j ≠ k og X =
framsetning einfalda fallsins ϕ.
R
C
n∑
a j χ Ej
j=1
E j = ϕ [−1] ({a j })
n ⋃
j=1
E j . Þessi framsetning nefnist stöðluð
(1.37) Setning Sérhvert fall f : X → R + má skrifa sem markgildi af vaxandi runu af
einföldum föllum. Ef f er takmarkað, þá er samleitnin í jöfnum mæli á X.
Sönnun. Grundvallaratriði í heildunarfræði er að skipta lóðrétta ásnum í lítil bil og taka
frummyndirnar.
8

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
[ k
2 n , k+1
2 n [
Skilgreinum mengin
Skilgreinum
E n,k
E n,k = f [−1] ([ k
2 n , k + 1
2 n [)
, k = 0, 1, 2, . . . , n2 n − 1
E n,k = f [−1] ([ k + 1
2 n , +∞ ])
, k = n2 n
ϕ n =
n2 n
∑
k=0
k
2 n χ E n,k
□
1.3 Málrúm
(1.38) Skilgreining Látum X vera σ-algebru á X, þ.e.a.s. (X, X ) er mælanlegt rúm.
Mál er fall µ : X → R sem uppfyllir:
(i) µ(∅) = 0
(ii) µ ≥ 0
(iii) Ef (E j ) er runa af sundurlægum mengjum í X, þá er
⎛
µ ⎝
+∞ ⋃
j=1
⎞
+∞∑
E j
⎠ = µ(E j )
j=1
Ef E, F ∈ X, E ⊆ F, þá er
og
F = E ∪ F \ E
E ∩ (F \ E) = ∅
9

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
Af (iii) leiðir að
Þetta gefur að
Ef µ(E) < +∞, þá fæst
Ef (E j ) er runa í X, þá gildir alltaf
µ(F ) = µ(E) + µ(F \ E) .
µ(E) ≤ µ(F ) . (1.1)
µ(F \ E) = µ(F ) − µ(E) . (1.2)
⎛
µ ⎝
Þetta sjáum við með því að líta á
Þá er
og
og þar með
⎛
µ ⎝
+∞ ⋃
j=1
⎞ ⎛
E j
⎠ = µ ⎝
+∞ ⋃
j=1
⎞
+∞∑
E j
⎠ ≤ µ(E j )
F j = E j \
+∞ ⋃
j=1
E j =
F j ∩ F k = ∅
+∞ ⋃
j=1
j=1
j−1
⋃
k=1
E k
+∞ ⋃
F j
j=1
ef j ≠ k
⎞
+∞∑
F j
⎠ = µ(F j ) F j⊆E j
≤
j=1
+∞∑
j=1
µ(E j )
(1.39) Dæmi Ef X er mengi og við tökum X = P(X), þá er µ : P(X) → R + ,
µ(A) = #A = fjöldi staka í A
mál og það nefnist talningarmál X.
♦
(1.40) Skilgreining Málrúm er þrennd (X, X , µ) þar sem X er mengi, X er σ-
algebra og µ er mál á X.
Málið µ nefnist líkindamál ef µ(X) = 1.
Málið µ er sagt vera endanlegt ef µ(X) < +∞. Málið µ er sagt vera σ-endanlegt
ef til er þakning (E j ) á X þ.a. µ(E j ) < +∞.
(1.41) Hjálparsetning Látum µ vera mál á X .
10
(i) Ef E j er vaxandi runa í X , þá er
⎛
µ ⎝
+∞ ⋃
j=1
⎞
E j
⎠ = lim µ(E j)
n→+∞

(ii) Ef F j er minnkandi runa í X og µ(F 1 ) < +∞, þá er
⎛ ⎞
+∞ ⋂
µ ⎝ F j
⎠ = lim µ(F j)
j→+∞
Sönnun.
j=1
KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
(i) Skilgreinum A 1 = E 1 , A j = E j \ E j−1 . Þá eru (A j ) sundurlæg og
⎛
µ ⎝
+∞ ⋃
j=1
⎞ ⎛
E j
⎠ = µ ⎝
+∞ ⋃
j=1
+∞ ⋃
j=1
⎛
= lim µ ⎝
n→+∞
A j =
+∞ ⋃
E j
j=1
⎞
+∞∑
A j
⎠ = µ(A j ) =
n⋃
j=1
j=1
A j
⎞
⎠ =
lim
n→+∞
j=1
lim µ(E n)
n→+∞
n∑
µ(A j )
(ii) Beitum (i) á vaxandi rununa E j = F 1 \ F j
⎛
µ(F 1 ) − µ ⎝
+∞ ⋂
j=1
⎞ ⎛
F j
⎠ = µ ⎝F 1 \
+∞ ⋂
j=1
⎞ ⎛
F j
⎠ = µ ⎝
+∞ ⋃
j=1
(i)
= lim µ(F 1 \ F n ) = µ(F 1 ) −
n→+∞
⎞
(F 1 \ F j ) ⎠
lim µ(F j)
j→+∞
□
1.4 Heildi jákvæðra falla
(1.42) Skilgreining Látum E ∈ X. Við skilgreinum heildið af χ E m.t.t. málsins
µ með
Ef ϕ er einfalt fall, þá látum við
∫
X
χ E dµ = µ(E)
ϕ =
n∑
a j χ Ej
vera stöðluðu framsetninguna á ϕ og skilgreinum heildið af ϕ m.t.t. µ sem
∫
X
ϕ dµ =
j=1
n∑
a j µ(E j )
j=1
Almennt: Ef f ∈ M + (X, X ), þá skilgreinum við
∫
X
⎧
⎨∫
f dµ = sup
⎩
Athugum að gildi heildisins er á bilinu [0, +∞].
X
ϕ dµ; ϕ ∈ M + (X, X ) einfalt fall og ϕ ≤ f
⎫
⎬
⎭
11

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
(1.43) Athugasemd
(i) Í skilgreiningunni á heildi má takmarka sig við einföld föll sem taka gildi í R. Ef
ϕ er einfalt, ϕ ≤ f og segjum að a n = +∞, þá er
ϕ =
n∑
n−1
∑
a j χ Ej = a j χ Ej + (+∞)χ En = ψ + (+∞)χ En
j=1
j=1
Ef við setjum ϕ k = ψ + kχ En : X → R, þá fást einföld raungild föll ϕ k ↗ ϕ
(ii) Ef f, g ∈ M + (X, X ), f ≤ g, þá er
∫
∫
X
X
∫
ϕ k dµ ↗
X
∫
f dµ ≤
X
ϕ dµ
g dµ
(1.44) Hjálparsetning Ef ϕ er einfalt fall í M + (X, X ) og
ϕ =
þar sem F 1 , . . . , F m eru sundurlæg, þá er
∫
ϕ dµ =
X
m∑
b k χ Fk
k=1
m∑
b k µ(F k )
k=1
(1.45) Setning Ef f, g ∈ M + (X, X ) og c ∈ R + = [0, +∞[, þá
og
f + g ∈ M + (X, X ) og cf ∈ M + (X, X )
∫
X
∫
(f + g) dµ =
∫
X
X
∫
cf dµ = c
∫
f dµ +
(1.46) Setning (Setningin um vaxandi samleitni) Ef (f n ) er vaxandi runa í M + (X, X ),
þá er
Sönnun. Táknum f =
12
lim
∫
n→+∞
X
∫
f n dµ =
X
X
f dµ
X
g dµ
( lim
n→+∞ f n) dµ
lim f n ∈ M + (X, X ). Ljóst er að f n ≤ f fyrir öll x og því er
n→+∞
lim
∫
n→+∞
X
∫
f n dµ ≤
X
f dµ

Þurfum að sanna að
∫
X
f dµ ≤
KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
lim
∫
n→+∞
X
f n dµ (1.3)
Til þess tökum við einfalt fall ϕ ∈ M + (X, X ), ϕ ≤ f, sem tekur gildi í R, og α ∈]0, 1[.
Við ætlum að sýna að
∫
α
ϕ dµ ≤
lim
n→+∞
X
X
Það dugir, því ef við tökum efra mark yr öll slík ϕ, þá fæst
∫
α
X
f dµ ≤
lim
∫
∫
n→+∞
X
f n dµ
f n dµ
Fyrst þetta gildir um öll α, þá gildir jafna (1.3).
Við setjum
A n = {x ∈ X; αϕ(x) ≤ f n (x)} ∈ X
Þetta er vaxandi runa af mengjum, því (f n ) er vaxandi og
Látum ϕ = m ∑
∫
j=1
a j χ Ej
ϕ dµ =
∫
A n
+∞ ⋃
n=1
∫ ∫
αϕ dµ ≤ f n dµ =
A n
A n = X
X
∫
f n χ An dµ ≤
vera staðlaða framsetningu á ϕ. Þá er
m∑
a j µ(E j ) =
j=1
m∑
a j µ(E j ∩
j=1
+∞ ⋃
n=1
A n ) =
X
m∑
j=1
f n dµ (1.4)
+∞ ⋃
µ(
Athugum að (E j ∩ A n ) +∞
n=1 er vaxandi runa með sammengið E j . Því er
Þetta gefur
∫
X
ϕ dµ = lim
n→+∞
j=1
= lim
+∞ ⋃
µ(
n=1
E j ∩ A n ) =
m∑
a j µ(E j ∩ A n ) =
∫
n→+∞
X
lim µ(E j ∩ A n )
n→+∞
lim
m∑
( a j χ Ej χ An ) dµ =
j=1
Við beitum nú jöfnu (1.4) og fáum
∫
α
ϕ dµ =
∫
lim α
n→+∞
∫
n→+∞
X
lim
n=1
m∑
( a j χ Ej ∩A n
) dµ
j=1
∫
n→+∞
X
A n
ϕ dµ ≤ lim
ϕχ An dµ =
∫
n→+∞
X
f n dµ .
E j ∩ A n )
lim
n→+∞
∫
A n
ϕ dµ
□
13

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
(1.47) Setning Ef (f n ) er minnkandi runa í M + (X, X ) og ∫ X
f 1 dµ < +∞, þá er
lim
∫
n→+∞
X
∫
f n dµ =
X
( lim
n→+∞ f 1) dµ
Sönnun. g n = f 1 − f n er vaxandi. Beitum setningu um vaxandi samleitni á g n
Þetta jafngildir
∫
X
f 1 dµ −
og þar með er
lim
n→+∞
X
lim
∫
n→+∞
X
∫
∫
f n dµ =
∫
(f 1 − f n ) dµ =
lim
X
∫
n→+∞
X
X
lim (f 1 − f n ) dµ
n→+∞
∫
(f 1 − lim f n) dµ =
n→+∞
∫
f n dµ =
X
X
( lim
n→+∞ f n) dµ
(1.48) Fylgisetning Ef (f n ) er runa í M + (X, X ), þá er
+∞∑
∫
n=1
X
∫
f n dµ =
X
+∞∑
n=1
f n dµ
∫
f 1 dµ −
X
( lim
n→+∞ f n) dµ
(1.49) Skilgreining (Talningarmálið á N) Látum X = N ∗ , X = P(N ∗ )og µ =talningarmálið:
µ(E) = fjöldi staka í E
Ef f : N ∗ → R + , þá er f ∈ M + (X, X ) og
Þar með er
∫
N ∗ f dµ =
+∞∑
n=1
∫
f(n)
f =
+∞∑
n=1
N ∗ χ {n} dµ =
f(n)χ {n}
+∞∑
n=1
f(n)µ({n}) =
Tökum nú runu af föllum (f n ) í M(N ∗ , P(N ∗ )). Þá gefur fylgisetningin
Ef við skrifum f n sem runur
+∞∑
+∞∑
n=1 m=1
f n (m) =
+∞∑
+∞∑
m=1 n=1
f n (m) = a n,m
f n (m)
+∞∑
n=1
f(n)
þá er þetta ekkert annað en tvöföld summa af jákvæðum tölum sem uppfyllir
14
+∞∑
+∞∑
n=1 m=1
a n,m =
+∞∑
+∞∑
a n,m
m=1 n=1

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
(1.50) Setning (Hjálparsetning Fatou) Ef (f n ) er runa í M + (X, X ), þá er
∫
∫
(lim inf f n) dµ ≤ lim inf
n→+∞ n→+∞
X
X
f n dµ
Sönnun. Setjum g n = inf m≥n f m . Þá er (g n ) vaxandi, lim inf
Setningin um vaxandi samleitni gefur
∫
X
∫
(lim inf f n) dµ =
n→+∞
X
lim g n dµ =
n→+∞
lim
∫
n→+∞
X
n→+∞ f n =
∫
g n dµ ≤ lim inf
lim g n og g n ≤ f n .
n→+∞
n→+∞
X
f n dµ
(1.51) Skilgreining Látum (X, X , µ) vera málrúm. Mengi N í X er sagt vera núllmengi
málsins µ ef µ(N) = 0.
Reglan
+∞ ⋃
µ(
j=1
E j ) ≤
+∞∑
j=1
µ(E j )
segir okkur að teljanleg sammengi núllmengja sé núllmengi.
Við segjum að tvö föll f og g á X séu eins µ-næstum alls staðar og táknum það
með
f = g µ-n.a.
ef til er núllmengi N í X m.t.t. µ þannig að
{x ∈ X | f(x) ≠ g(x)} ⊆ N
Ef ljóst er af samhengi hvert málið er, þá skrifum við
f = g n.a.
Ef Q(x) er fullyrðing sem sett er fram fyrir öll x ∈ S, þá segjum við að Q(x) sé sönn
µ-næstum alls staðar ef
er innnihaldið í µ-núllmengi.
{x ∈ X | Q(x) er ósönn}
(1.52) Setning Látum f ∈ M + (X, X ) og µ vera mál á X . Þá er
f = 0 n.a.
⇔
∫
X
f dµ = 0
Sönnun. Setjum E = {x ∈ X; f(x) > 0}. Þá er E ∈ X. Setjum einnig E n = {x ∈
X; f(x) > 1 n }. Þá er E n vaxandi og E = ⋃ +∞
n=1 E n. Athugum að við höfum ójöfnu
f ≥ 1 n χ E n
15

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
Af því leiðir
Gerum ráð fyrir að ∫ X
∫
∫
f dµ ≥
1
n χ E n
dµ = 1 n µ(E n) (1.5)
X
X
□
f dµ = 0, þá gefur jafna (1.5) að µ(E n ) = 0 og þar með er
µ({x; f(x) ≠ 0}) = µ(E) =
lim µ(E n) = 0
n→+∞
Þar með er f = 0 n.a.
Öfugt, ef f = 0 n.a., þá er E innihaldið í núllmengi N. Fyrst E er mælanlegt, þá er E
sjálft núllmengi. Þetta gefur
∫
0 ≤
X
∫
f dµ ≤ (+∞χ E ) dµ = (+∞) · µ(E) = 0
X
1.5 Heildanleg föll
(1.53) Skilgreining Látum (X, X , µ) vera málrúm. Sérhvert f ∈ M R (X, X ) má liða í
f = f + − f − , f + = max{f, 0}, f − = max{−f, 0}
Við segjum að f sé heildanlegt m.t.t. µ ef
og við skilgreinum
∫
X
f + dµ < +∞
∫
X
∫
f dµ =
X
og
∫
X
∫
f + dµ −
f − dµ < +∞
X
f − dµ
Látum L R (µ) tákna mengi allra µ-heildanlegra falla f ∈ M R (X, X ). Ef f ∈ M C (X, X ),
þá segjum við að f sé hieldanlegt ef Re f og Im f eru heildanleg raungild föll. Við setjum
∫
X
∫
f dµ =
X
∫
Re f dµ + i
X
Im f dµ
Við látum L C (µ) tákna mengi allra heildanlegra falla f : X → C.
(1.54) Setning Fallið f ∈ M(X, X ) er heildanlegt ef og aðeins ef |f| ∈ M + (X X ) er
heildanlegt og
16
∣ ∣∣∣∣∣ ∫
X
∫
f dµ
∣ ≤
X
|f| dµ

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
Sönnun. Ef f ∈ M R (X, X ), þá er |f| = f + + f og þar með er ljóst að − f er heildanlegt
ef og aðeins ef |f| er heildanlegt og
∫
∣
f dµ
∣ =
=
∫ ∫
∣∫
∣∫
∣ f + dµ − f − ∣∣∣
dµ
∣ ≤ f + ∣∣∣
dµ
∣ +
∫
∫
(f + + f − ) dµ = |f| dµ
Ef f ∈ M C (X, X ), þá athugum við að
∫
f − dµ
∣ =
| Re f| ≤ |f|, | Im f| ≤ |f|, |f| ≤ | Re f| + | Im f|
Af þessum ójöfnum fæst að f er heildanlegt þþaa |f| sé heildanlegt.
Veljum α þannig að |α| = 1 og
Þá fæst
∫
∣
f dµ
∣ =
=
∫
∫
∫
∣
∫
f dµ
∣ = α
∫
αf dµ =
Re(αf) dµ ≤
f dµ
∫
Re(αf) dµ + i
∫
∫
|αf| dµ =
Im(αf) dµ
|f| dµ
∫
f + dµ +
f − dµ
Svindluðum hér aðeins: áttum að sanna á undan þessu að L R (µ) og L C (µ) séu vigurrúm
yr R og C.
□
(1.55) Setning (Setning Lebesgue um yrgnæfða samleitni) Látum (f n ) vera runu sem
stefnir n.a. á mælanlega fallið f og gerum ráð fyrir að til sé g ∈ L R (µ), g ≥ 0, þannig að
Þá er f ∈ L(µ) og
|f n | ≤ g n.a. frir öll n = 1, 2, 3, . . .
lim
∫
n→+∞
X
∫
f n dµ =
X
f dµ
Sönnun. Vitum að teljanlegt sammengi af núllmengjum er núllmengi. Það gefur að við
getum breytt skilgreiningu á f n og f þ.a. f n → f í sérhverjum punkti og að |f n | ≤ g á
öllu X. Það gefur að f er heildanlegt. Ef f n eru tvinngild föll, þá má beita setningunni
á raun- og þverhluta, ef geð er að hún gildir um raungild föll. Við megum því gera ráð
fyrir að f n séu raungild föll.
Við höfum að g + f n ≥ 0. Fatou gefur:
∫
∫
g dµ +
og þar með
f dµ =
=
∫
∫
(g + f) dµ =
∫
∫
g dµ + lim inf
n→+∞
∫
∫
lim inf (g + f n) dµ ≤ lim inf
n→+∞ n→+∞
f n dµ
∫
f dµ ≤ lim inf
n→+∞
(g + f n ) dµ
f n dµ (1.6)
17

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
Nú er g − f n ≥ 0. Fatou gefur
∫
∫
g dµ −
∫
∫
∫
f dµ = (g − f) dµ = lim inf (g − f n) dµ ≤ lim inf (g − f n ) dµ
n→+∞ n→+∞
(∫ ∫ ) ∫
∫
= lim inf g dµ − f n dµ = g dµ − lim sup f n dµ
n→+∞
n→+∞
Af þessu fæst nú
∫ ∫
lim sup f n dµ ≤ f dµ (1.7)
n→+∞
Með því að tengja saman jöfnur (1.6) og (1.7) þá fæst
lim
n→+∞
∫
∫
f n dµ =
f dµ
□
1.6 Nokkrar aeiðingar
Látum
f : X × [a, b] → C, [a, b] lokað og takmarkað bil
þannig að x ↦→ f(x, t) ∈ M(X, X ) fyrir öll t ∈ [a, b]. Látum T vera mengi þeirra t ∈ [a, b]
þ.a. f sé heildanlegt fall. Setjum
∫
F (t) =
X
∫
f(·, t dµ =
(1.56) Setning Látum t 0 ∈ [a, b] og g.r.f. að
X
f(x, t) dµ(x),
(1) t ↦→ f(x, t) sé samfellt í t 0 fyrir öll x ∈ X.
(2) Til sé g ∈ L(X, X , µ) þ.a. f(·, t)| ≤ g fyrir öll t ∈ [a, b].
Þá er F samfellt í t 0 .
Sönnun. Við viljum sanna að
lim f(x, t) dµ(x) =
t→t 0
∫X
∫
X
f(x, t 0 ) dµ(x)
t ∈ T
Tökum runu t n í [a, b] þ.a. t n → t 0 og skilgreinum f n = f(·, t n ). Höfum |f n | ≤ g og
f n → f(·, t 0 ) skv. (1) og (2). Þá fæst
lim F (t n) =
n→+∞
lim
n→+∞
∫
∫
f n dµ =
f(·, t 0 ) dµ = F (t 0 )
skv. setningu Lebesgue. Fyrst (t n ) er ótiltekin runa sem stefnir á t 0 , þá fæst
og því er F samfellt í t 0 .
18
lim F (t) = F (t 0 )
t→t 0
□

(1.57) Setning G.r.f. að
(1) til sé t 0 ∈ [a, b] þ.a. f(·, t) ∈ L(X, X , µ)
(2) ∂f
∂t
(x, t) sé til fyrir öll (x, t) ∈ X × [a, b]
(3) til sé g ∈ L(X, X , µ) þ.a.
∣ ∂f ∣∣∣
∣ ∂t (·, t) ≤ g, fyrir öll t ∈ [a, b]
Þá gildir:
(i) f(·, t) ∈
∣
L(X, X , µ) fyrir öll t ∈ [a, b]
(ii) ∣ ∂f ∣∣
∂t (·, t) ∈ L(X, X , µ) fyrir öll t ∈ [a, b]
(iii) Fallið F er deildanlegt á [a, b] og
∫
F ′ ∂f
(t) = (x, t dµ(x)
∂t
KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
Sönnun. Ef t ∈ [a, b] þá er til runa (t n ) í [a, b] sem stefnir á t og því fæst
fyrir öll x ∈ X. Því er ∂f
∂t
x) milli t og t 0 þ.a.
Af þessu leiðir að
∂f
(x, t) =
∂t lim f(x, t n ) − f(x, t)
n→+∞ t n − t
X
(·, t) mælanlegt fall. Meðalgildissetningin gefur að til er τ (háð
f(x, t) = f(x, t 0 ) + (t − t 0 ) ∂f (x, τ)
∂t
|f(x, t)| ≤ |f(x, t 0 )| + (b − a)g(x)
Þar sem hægri hliðin er heildanlegt fall af x, þa gildir (i). Fyrst ∂f
∂t
(·, t) er mælanlegt, þá
leiðir (ii) af (3). Til þess að sanna (iii) beitum við setningu Lebesgues á
F (t n ) − F (t)
t n − t
∫
=
X
( )
f(x, tn ) − f(x, t)
dµ(x)
t n − t
en til þess þurfum við takmörkun á heildisstofninn. Meðalgildissetningin gefur að til er
τ n a'milli t og t n þ.a.
f(x, t n ) − f(x, t)
t n − t
= ∂f
∂t (x, τ n)
(Athguum að τ n er háð x). Nú gefur (3) að við megum skipta á markgildi og heildi með
því að beita setningu Lebesgue,
F (t n ) − F (t)
lim
=
n→+∞ t n − t
∫
X
f(x, t n ) − f(x, t)
lim
dµ(x) =
n→+∞ t n − t
Þar sem (t n ) er ótiltekin runa sem stefnir á t, þá fæst (iii).
∫
X
∂f
(x, t) dµ(x)
∂t
(1.58) Skilgreining Látum (X, X , µ) vera málrúm, (Y, Y) mælanlegt rúm og f : X →
Y mælanlega vörpun. Þá getum við skilgreint mál á Y með formúlunni
(f ∗ µ)(A) = µ(f [−1] (A)), A ∈ Y
Það nefnist myndmál µ við vörpunina f. Einnig táknað µ f .
□
19

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
(1.59) Athugasemd Athugum að x ∈ f [−1] (A) þþaa f(x) ∈ A. Þar með er
Þar með er
∫
(f ∗ µ)(A) =
X
χ f [−1] (A) = χ A ◦ f =: f ∗ χ A
∫
χ A d(f ∗ µ) =
X
χ f [−1] (A) dµ = ∫
X
(χ A ◦ f) dµ
Með því að skrifa ϕ ∈ M + (X, X ) sem markgildi runu af einföldum föllum, þá fáum við
að þessi formúla alhæst í
∫
Y
∫
ϕ d(f ∗ µ) =
X
ϕ ◦ f dµ
1.7 Nokkur hugtök úr líkindafræði
Venja er að tákna grunnrúmið X með Ω í líkindafræði, σ-algebruna X með F og málið
µ með P. Við höfum þá að µ = P er líkindamál, P (Ω) = 1.
(1.60) Skilgreining Þrenndin (Ω, F, P ) nefnist líkindarúm eða tilraun. Stak ω
í Ω nefnist útkoma, mengi A ∈ F nefnist atburður og P (A) ∈ [0, 1] nefnist líkindi
atburðarins A.
Sammengi ⋃ A i atburðanna A i ∈ F nefnist samatburður A i og sniðmengið ⋂ A i
i∈I
nefnist sniðatburður.
Ef B ∈ F og P (B) > 0, þá nefnist líkindamálið P (·|B) sem skilgreint er með
P (A|B) =
skilyrt líkindamál genn atburðurinn B.
Atburðirnir A og B eru sagðir vera óháðir ef
P (A ∩ B)
P (B)
P (A ∩ B) = P (A)P (B)
Ef P (B) > 0 þá er þetta jafngilt því að skilyrt líkindi A genn B séu jöfn líkindum A.
Mælanlegtfall X : Ω → Rálíkindarúmi (Ω, F, P )nefnist slembistærðeða hending
og mælanleg vörpun X : Ω → R m með tilliti til (F, B R m) nefnist m-víð slembistærð.
Ef Γ er mengi, t.d. N, N ∗ , Z, Q, R, R + , þá nefnist safn slembistærða {X t | t ∈ Γ}
slembiferli.
Ef X : Ω → R er slembistærð, þá nefnist myndmálið P X sem skilgreint er á B R með
20
P X (A) = P (X [−1] (A))
i∈I

líkindadreifing slembistærðarinnar X.
Heildið
∫
E[X] =
∫
X(ω) dP (ω) =
KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
∫
X dP =
x dP X (x)
Ω
Ω
R
nefnist væntigildi slembistærðarinnar X. Ef X ≥ 0, þá er væntigildið alltaf til sem
stak í [0, +∞]. Ef X er raungild slembistærð, þá þarf að gera ráð fyrir að X sé heildanleg.
(1.61) Dæmi (Líkindadreingar)
(i) Látum X : Ω → R vera fastafall, segjum X(ω) = a ∈ R. Athugum að
X [−1] (A) =
þar sem A ⊆ R. Af þessu leiðir að
{
∅ a ∉ A
Ω
P X (A) = P (X [−1] (A)) =
Þetta er Dirac-málið í punktinum a
δ a (A) =
Það er vel skilgreint á P(R).
(ii) Látum X : Ω → R taka tvö gildi a og b. Ef
a ∈ A
{
1 ef a ∈ A
{
1 ef a ∈ A
0 ef a ∉ A
0 ef a ∉ A
A := P [−1] ({a}) og P (A) = p
þá er
A ′ = Ω \ A = P [−1] ({b})
Við fáum síðan
og P (A ′ ) = 1 − p
sem við getum skrifað
P X = pδ a + (1 − p)δ b
P X (E) = pδ a (E) + (1 − p)δ b (E),
E ∈ B R
(iii) Ef X tekur endanlega mörg gildi a 1 , . . . , a m , þá setjum við
a j := X [−1] ({a j }) og p j = P (A j ), j ∈ [1, m]
Fáum að
P X (E) = p 1 δ a1 (E) + · · · + p m δ am (E)
(iv) Við segjum að X lúti Poisson-dreingu ef
P X (E) =
+∞∑
j=1
p j δ j (E),
p j = λj
j! e−λ 21

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
(1.62) Skilgreining Líkindadreifing slembistærðarinnar X er
F X : R → [0, 1],
F X (x) = P ({ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x}) = P X (]−∞, x])
Þegar verið er að fjalla um slembistærðir þarf yrleitt ekki að taka fram hvert líkindarúmið
er. Þannig er oft sagt: Látum X vera slembistærð sem lýtur normaldreingu með
væntigildi µ og staðalfrávik σ. Þá er átt við að myndmálið P X er geð með
P X (E) = √ 1 ∫
2πσ
e −(x−µ)2 /2σ 2
E
Hér er þá jafnframt skilið svo að X sé mælanleg á (Ω, F) þar sem Ω er geð mengi, F
er gen σ-algebra og að þar sé geð líkindamál þannig að myndmál þess við vörpunina
X sé P X .
(1.63) Setning
(i) Fallið F X er vaxandi
lim F X(x) = 0,
x→−∞
(ii) Fallið F X er samfellt frá hægri
lim F X(x) = 1
x→+∞
lim F X(y) = F X (x)
y→x +
(1.64) Athugasemd Munum að vaxandi fall hefur aeiðu frá hægri og frá vinstri í
sérhverjum punkti.
22

Kai 2
Lebesgue-málið á R
Stöðluð bil eru af gerðinni
]−∞, a], ]a, b], ]b, +∞[, a ≤ b, a, b ∈ R .
Látum F tákna mengi allra endanlegra sammengja af stöðluðum bilum.
(2.1) Setning F er mengjaalgebra.
Sérhvert E ∈ F má skrifa sem sundurlægt sammengi af stöðluðum bilum.
Skilgreinum
l : F → R +
l(E) = b − a, E =]a, b], a, b ∈ R ,
l(E) = +∞
m∑
l(E) =
j=1
ef E er ótamkmarkað bil,
l(E j ) ef E =
m⋃
j=1
E j , E j ∩ E k = ∅, j ≠ k, E j eru stöðluð bil.
Það má velja E j á mismunandi vegu, en stærðin l(E) er óháð valinu
]a, b] =]a, c]∪]c, b], a < c < b, l(]a, b]) = l(]a, c]) + l(]c, b])
(2.2) Setning Fallið l er formál á F.
(2.3) Skilgreining (Útvíkkun á formáli) Látum X vera mengi, A vera mengjaalgebru
á X og µ vera formál á A. Utanmálið µ ∗ af µ er mengjafallið
µ ∗ : P(X) → R +
{
∑ +∞
µ ∗ (E) = inf µ(E n );
n=1
E n ∈ A, E ⊆
+∞ ⋃
n=1
(2.4) Athugasemd Almennt gildir: µ ∗ er ekki mál á P(X).
(2.5) Setning
(1) µ ∗ (∅) = 0
23
E n
}

KAFLI 2. LEBESGUE-MÁLIÐ Á R
(2) µ ∗ (E) ≥ 0
(3) µ ∗ er vaxandi, µ ∗ (E) ≤ µ ∗ (F ) ef E ⊆ F
(4) µ ∗ er útvíkkun á µ, þ.e.a.s. µ ∗ (A) = µ(A) fyrir öll A ∈ A
(5) µ ∗ (⋃ +∞
n=1 A n
) +∞∑
≤ µ ∗ (A n ), fyrir öll A n ∈ P(X).
n=1
Sönnun. (1)(3) er augljóst.
(4) Mengið E ∈ A er þakning á E, því fáum við með því að velja E 1 = E, E 2 = E 3 =
· · · = ∅ að µ ∗ (E) ≤ µ(E). Ef (E n ) er einhver þakning á E, þá er
( +∞
)
⋃
µ(E) = µ (E ∩ E n ) ≤
n=1
+∞∑
n=1
µ(E ∩ E n ) ≤
+∞∑
n=1
µ(E n )
Þar með er µ(E ≤ µ (E).
(5) Ekkerteraðsannaefsummaner ∗ +∞,svoviðgerumráðfyrirað ∑ µ ∗ (A n ) < +∞.
Látum ε > 0 vera geð og veljum þakningu (E nj ) +∞
+∞∑
j=1
Þá er (E nj ) +∞
n,j=1
teljanlega þakning á +∞ ⋃
( +∞
)
⋃
µ ∗ A n ≤
n=1
+∞∑
+∞∑
j=1 n=1
µ(E nj ) =
µ(E nj ) ≤ µ ∗ (A n ) + ε/2 n
n=1
+∞∑
+∞∑
n=1 j=1
A n og því er
µ(E nj ) ≤
j=1 , E nj ∈ A
+∞∑
n=1
Nú getur ε verið hvaða tala sem er og því gildir ójafnan.
(2.6) Athugasemd Fyrir öll A og E í P(X) gildir að
µ ∗ (A) ≤ µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A ∩ E ′ )
(leiðir af (5) munum: A ∩ E ′ = A \ E).
(2.7) Setning (Útvíkkunarsetning Carathéodorys) Látum
Þá gildir
(µ ∗ (A n )+ε/2 n ) =
A ∗ = {E ∈ P(X) | µ ∗ (A) = µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A \ E) fyrir öll A ∈ P(X)}
(1) A ∗ er σ-algebra á X, A ⊆ A ∗ .
(2) Einskorðun µ ∗ við A ∗ er mál sem útvíkkar µ.
(3) Ef E ∈ P(X) og µ ∗ (E) = 0, þá er E ∈ A ∗ og af því leiðir að µ ∗ (F ) = 0 fyrir öll
F ⊆ E.
Sönnun. (1) og (2) er sannað í liðum (a)(g).
(a) ∅ ∈ A ∗ er ljóst. Þar sem A \ E = A ∩ E ′ , þá er jafngilt að E ∈ A ∗ og E ′ ∈ A ∗ .
24
+∞∑
n=1
µ ∗ (A n )+ε
□

(b) Sýnum að
Athugum að
E, F ∈ A ∗ ⇒ E ∩ F ∈ A ∗
KAFLI 2. LEBESGUE-MÁLIÐ Á R
µ ∗ (A ∩ E ∩ F ) + µ ∗ (A ∩ (E ∩ F ) ′ )
= µ ∗ (A ∩ E ∩ F ) + µ ∗ (A ∩ (E ′ ∪ F ′ ))
= µ ∗ (A ∩ E ∩ F ) + µ ∗ (A ∩ (E ′ ∪ F ′ ) ∩ E) + µ ∗ (A ∩ (E ′ ∪ F ′ ) ∩ E ′ )
= µ ∗ (A ∩ E ∩ F ) + µ ∗ (A ∩ F ′ ∩ E) + µ(A ∩ E ′ )
= µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A ∩ E ′ ) = µ ∗ (A)
(c) Með þrepun fæst að E 1 ∩ · · · ∩ E m ∈ A ∗ ef E 1 , . . . , E m ∈ A ∗ og af því leiðir að
E 1 ∪ · · · ∪ E m = (E ′ 1 ∩ · · · ∩ E′ m) ′ ∈ A ∗ . Þar með er A ∗ mengjaalgebra.
(d) Mengjafallið
A ∗ ∋ E ↦−→ µ ∗ (A ∩ E) ∈ [0, +∞]
er endanlega samleggjandi fyrir sérhvert A ∈ P(X):
Sö. Látum E, F ∈ A ∗ , E ∩ F = ∅. Þá er
µ ∗ (A ∩ (E ∪ F )) = µ ∗ (A ∩ (E ∪ F ) ∩ E) + µ ∗ (A ∩ (E ∪ F ) ∩ E ′ )
Nú er E ∩ E ′ = ∅ og F ⊆ E ′ , svo
µ ∗ (A ∩ (E ∪ F )) = µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A ∩ F )
(e) A er σ-algebra og ∗ µ er teljanlega samleggjandi á ∗ A .
∗
Sö. Látum (E n ) +∞
n=1 vera sundrulæga runu í A og setjum ∗ E = +∞ ⋃
E n . Fyrir
n=1
⋃
sérhvert n er n E j ∈ A , því ∗ A er algebra.
∗
j=1
µ ∗ (A) = µ ∗ (A ∩
sbr. (d)
=
≥
Látum nú n → +∞. Þá fæst
Vitum að
+∞∑
j=1
n⋃
E j ) + µ ∗ (A \
j=1
n∑
µ ∗ (A ∩ E j ) + µ ∗ (A \
j=1
+∞∑
j=1
µ ∗ (A ∩ E j ) + µ ∗ (A \
µ ∗ (A ∩ E j ) + µ ∗ (A \ E) ≤ µ ∗ (A)
µ ∗ (A) ≤ µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A \ E) ≤
+∞∑
j=1
n⋃
E j )
j=1
n⋃
E j )
j=1
n⋃
E j )
j=1
µ ∗ (A ∩ E j ) + µ ∗ (A \ E)
25

KAFLI 2. LEBESGUE-MÁLIÐ Á R
Af þessu leiðir að
µ ∗ (A) = µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A \ E) =
Þetta segir að E ∈ A ∗ .
Ef við veljum A = E, þá fæst
µ ∗ (E) =
+∞∑
j=1
+∞∑
j=1
µ ∗ (E j )
µ ∗ (A ∩ E j ) + µ ∗ (A \ E)
Mengið A er því σ-algebra og ∗ µ ∗ | A ∗ er mál á A .
(f) ∗ A ⊆ A . Tökum ∗ E ∈ A, A ∈ P(X) og látum (E n ) +∞
n=1 vera þakningu á A með
mengjum úr A þannig að
+∞∑
n=1
µ(E n ) ≤ µ ∗ (A) + ε
Þá er (E n ∩ E) +∞
n=1 þakning á A ∩ E í A og (E n \ E) +∞
n=1 þakning á A \ E í A. Við
höfum því
µ ∗ (A) ≤ µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A \ E) ≤
=
≤
+∞∑
n=1
+∞∑
n=1
(µ(E n ∩ E) + µ(E n \ E)) =
µ ∗ (A) + ε
Nú er ε > 0 hvaða tala sem er og því gildir
µ(E n ∩ E) +
+∞∑
n=1
µ(E n )
+∞∑
n=1
µ(E n \ E)
µ ∗ (A) = µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A \ E)
og við höfum sýnt að E ∈ A ∗ .
(g) Skv. síðustu setningu er µ ∗ útvíkkun á µ.
(3) E ∈ P(X) með µ ∗ (E) = 0. Þá er A ∩ E ⊆ E ∀A ∈ P(X) og því er µ ∗ (A ∩ E) = 0
og µ ∗ (A ∩ E ′ ) = µ ∗ (A \ E) ≤ µ ∗ (A). Af þessu leiðir
µ ∗ (A) ≤ µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A ∩ E ′ ) ≤ µ ∗ (A)
og þar með er
µ ∗ (A) = µ ∗ (A ∩ E) + µ ∗ (A \ E ′ )
Því er E ∈ A . Ef ∗ F ⊆ E, þá er µ ∗ (F ) = 0, svo síðasta staðhængin leiðir af þeirri
fyrri.
□
(2.8) Setning (Ótvíræðnisetning Hahns) Látum (X, A, µ) vera σ-endanlegt formálsrúm
með Carathéodory-útvíkkun (X, A ∗ , µ ∗ | A ∗). Um sérhverja σ-algebru D á X með
A ⊆ D ⊆ A ∗ gildir að
(1) (µ ∗ | D ) er eina málið á D sem útvíkkar µ.
Sér í lagi:
(2) (µ| A ∗) ∗ = µ ∗ og (A ∗ ) ∗ = A ∗ og (µ| A σ) ∗ = µ ∗ og (A σ ) ∗ = A ∗
26

2.1 Eiginleikar Lebesgue-málsins á R
KAFLI 2. LEBESGUE-MÁLIÐ Á R
Látum F tákna meni allra endanlegra sammengja af stöðluðum bilum,
Þá er
]−∞, a], ]a, b], ]b, +∞[ .
Höfum þá
l(E) = b − a, E =]a, b], a, b ∈ R
l(E) = +∞
m∑
l(E) =
j=1
l ∗ : P(R) → [0, +∞],
ef E er ótamkmarkað bil
l(E j ) ef E =
m⋃
E j ,
j=1
⎧
⎨
l ∗ (E) = inf
⎩
+∞∑
j=1
E j eru sundurlæg stöðluð bil
l(E j ) | E =
F ∗ nefnist Lebesgue-algebran á R. Við táknum hana með M.
l ∗ | M nefnist Lebesgue-málið á R og við táknum það með m.
(2.9) Setning
(1) l ∗ (B) = inf {m(G) | G er opið og B ⊆ G} fyrir B ⊆ R.
(2) m(E) = sup {m(K) | K er þjappað og K ⊆ E} fyrir E ∈ M.
+∞ ⋃
j=1
E j , E j stöðluð bil
Sönnun.
(1) Augljóst ef l ∗ (B) = +∞. Ef l ∗ (B) < +∞, þá tökum við stöðluð vil E j þannig að
⎫
⎬
⎭
+∞∑
n=1
l ∗ (E n ) ≤ l ∗ (B) + ε
Bilin E n eru endanleg, E n =]a n , b n ]. Setjum
Þá er B ⊆ G og
m(G) ≤
≤
G =
+∞∑
+∞ ⋃
n=1
]a n , b n + ε/2 n [
(b n + ε/2 n − a n ) =
+∞∑
n=1
n=1
l ∗ (B) + 2ε
l(E n ) + ε
Þar sem ε > 0 getur verið hvaða tala sem er, þá gefur þetta að
l ∗ (B) = inf {m(G) | G opið og B ⊆ G}
27

KAFLI 2. LEBESGUE-MÁLIÐ Á R
(2) Tökum E ∈ M. G.r.f. að m(E) < +∞. Tökum ε > 0 og rununa K n = [−n, n].
Runan (K n ∩ E) +∞
n=1 er vaxandi og m(K n ∩ E) → m(E). Með því að festa n nógu
stórt getum við gert ráð fyrir að
m(K n ∩ E) > m(E) − ε/2
Skv. (1) er til opið mengi A þannig að K n \ E ⊆ A og
m(A) ≤ m(K n \ E) + ε/2
Þá er K = K n \ A = K n ∩ A ′ þjappað hlutmengi í E.
m(K) = m(K n ) − m(K n ∩ A)
≥
m(K n ) − m(A)
≥ m(K n ) − m(K n \ E) − ε/2
= m(K n ∩ E) − ε/2
≥
m(E) − ε
Þar með er
m(E) = sup {m(K) | K ⊆ E, K þjappað }
Ef m(E) = +∞, þá tökum við M > 0 og viljum sanna að til sé þjappað mengi
K ⊆ E þannig að m(K) > M. Veljum n það stórt að
M + 1 < m(K n ∩ E) ≤ m(K n ) < +∞
Þá er til þjappað hlutmengi K í K n ∩ E þannig að m(K) > m(K n ∩ E) − 1. Þá
er m(K) > M.
□
(2.10) Skilgreining Ef X er grannrúm, X er σ-algebra á X sem inniheldur Borelalgebruna
og µ er mál á X, þá segjum við að µ sé reglulegt að utan ef
µ(E) = inf{µ(G) | E ⊆ G og G er opið }
og við segjum að µ sé reglulegt að innan ef
µ(E) = sup{µ(K) | E ⊆ K og K er þjappað }
Ef µ er bæði reglulegt að utan og innan, þá segjum við að µ sé reglulegt mál.
(2.11) Athugasemd Síðasta setning segir að m sé reglulegt.
(2.12) Setning (2.5.8. í JRS)
(1) Um sérhvert E ∈ M og ε > 0 gildir að til er opið mengi A og lokað mengi B
þannig að
B ⊆ E ⊆ A og m(A \ B) < ε
28
(2) Um sérhvert ∈ M gildir að til eru Borelmengi F og G þannig að
F ⊆ E ⊆ G og m(G \ F ) = 0
(3) Um sérhvert E ∈ M gildir að til er Borelmengi F og núllmengi Z sem er innihaldið
í Borelnúllmengi N þannig að
F ⊆ E og E = F ∪ Z

KAFLI 2. LEBESGUE-MÁLIÐ Á R
2.2 Fullkomin málrúm
(2.13) Skilgreining Málrúmið (X, X , µ) er sagt vera fullkomið ef sérhvert hlutmengi
í núllmengi er mælanlegt (og þar með einnig núllmengi).
Munum að (X, A ∗ , µ ∗ | A ∗) er fullkomið skv. Carathéodory og þar með er (R, M, m) fullkomið.
(2.14) Setning Gerum ráð fyrir að (X, X , µ) sé málrúm. Skilgreinum X ′ ⊆ P(X) og
µ ′ : X ′ → [0, +∞], þannig að
og
Þá gildir:
X ′ = {E ∪ Z | E ∈ X , Z er hlutmengi í µ-núllmengi}
µ ′ (E ∪ Z) = µ(E) .
(1) X ′ er σ-algebra á X og X ⊆ X ′
(2) µ er mál á X ′ sem útvíkkar µ
(3) (X, X , µ ′ ) er fullkomið
(4) Ef f : X → R er X ′ -mælanlegt, þá er til X -mælanlegt fall g : X → R þannig að
f = g µ-n.a.
(2.15) Fylgisetning M = B ′ R og µ′ = µ ∗ | M .
Lebesgue-málið er hliðrunaróháð
l(E + a) = l(E)
∀a ∈ R
Þetta er auðséð fyrir bil og þessi eiginleiki erst á utanmálið l ∗ .
Eins gildir að:
l(bE) = |b|l(E)
Af þessu tvennu leiða tvær reglur:
∫
R
∫
f(x + a) dx =
∫
|b|
R
R
f(x) dx,
∫
f(bx) dx =
R
f(x) dx
f ∈ L(m)
29

KAFLI 2. LEBESGUE-MÁLIÐ Á R
2.3 Borel-algebran og Lebesgue-algebran
(2.16) Valfrumsendan Um sérhvert mengi X og sérhvert A ⊆ P(X), A ≠ ∅, ∅ ∉ A,
gildir að til er fall f : A → X, þannig að f(A) ∈ A fyrir öll A ∈ A.
(2.17) Dæmi (Dæmi Vitalis um mengi E ⊆ R sem er ekki Lebesgue-mælanlegt) Skilgreinum
vensl ∼ á R með
x ∼ y ⇔ x − y ∈ Q
Þetta eru jafngildisvensl. Látum [x] tákna jafngildisokk punktsins x ∈ R.
Látum E ⊆]0, 1[ vera mengi sem inniheldur nákvæmlega einn punkt úr hverjum jafngildisokki.
Tilvist E er tryggð með valfrumsendunni. Látum nú A samanstanda af öllum
sniðmengjum [x]∩]0, 1[
A = {[x]∩ ]0, 1[ | x ∈ R} ⊆ P(R)
Nú er til vörpun f : A →]0, 1[ þannig að f(A) ∈ A. Jafngildisokkarnir eru sundurlægir
svo f er eintæk,
E = f(A)
Nú viljum við sýna að S sé ekki mælanlegt. Ef E væri mælanlegt, E ∈ M, þá er
E + r ∈ M fyrir öll r ∈ Q, því M er hliðrunaróháð. Þar með er einnig
mælanlegt. Við höfum að
S =
⋃
r∈Q∩]−1,1[
(E + r)
]0, 1[ ⊆ S ⊆ ] − 1, 2[
Tilaðsannaþetta,tökumvið x ∈]0, 1[.Þáertil y ∈ E þannigað y = x+r,þáer x ∈ E+r
þar sem r ∈ ] − 1, 1[. Seinni ójafnan er augljós. Af þessu leiðir að 1 ≤ m(S) ≤ 3. En,
mengin E + r, r ∈ Q∩ ] − 1, 1[ eru sundurlæg, svo
m(S) =
∑
r∈Q∩ ]−1,1[
m(E + r) =
∑
r∈Q∩ ]−1,1[
Af þessu leiðir að m(E) = 0 og þar með er m(S) = 0. Mótsögn.
m(E) ≤ 3
(2.18) Setning Látum A vera Lebesgue-mælanlegt mengi. Þá er A núllmengi þþaa
öll hlutmengi A eru mælanleg.
(2.19) Setning Borel-algebran á R er samstétta R,
B R ≈ R,
en Lebesgue-algebran á R er samstétta veldismengi R,
♦
30
M R ≈ P(R) .

Sönnun. Seinni fullyrðingin er sönnuð á eftirfarandi hátt:
Látum C tákna Cantormengið. Við höfum að
KAFLI 2. LEBESGUE-MÁLIÐ Á R
Nú er C núllmengi og
Því fæst
C ≈ R
og P(C) ≈ P(R)
P(C) ⊆ M ⊆ P(R) .
M ≈ P(R) .
□
2.4 Riemann-heildið
(2.20) Skilgreining (Riemann) Látum f : [a, b] → C vera fall. Það er sagt vera
heildanlegt ef til ar tala A ∈ C þannig að um sérhvert ε > 0 gildir að til er δ > 0
þannig að
∣ ∣∣∣∣∣
A −
n∑
f(t j )(x j − x j−1 )
∣ < ε
j=1
fyrir sérhverja skiptingu P : a = x 0 < · · · < x n = b með max j (x j − x j−1 ) < δ og
t j ∈ [x j−1 , x j ]. Talan A nefnist heildi fallsins f yr bilið [a, b] og er táknuð með
∫ b
a
f(x) dx
31

KAFLI 2. LEBESGUE-MÁLIÐ Á R
32

Kai 3
Margfeldi málrúma
Tilgangurinn er að skilgreina margfeldismálrúm (X × Y, X ∗ × Y, π) tveggja málrúma
(X, X , µ) og (Y, Y, ν), þannig að
og
∫
X×Y
∫
F (x, y) dπ =
X
π(E × F ) = µ(E)ν(F ),
⎛
∫
⎝
með eðlilegum forsendum á F.
Y
⎞
∫
F (x, y) dν(y) ⎠ dµ(x) =
E ∈ X , F ∈ Y
Y
⎛
∫
⎝
X
⎞
F (x, y) dµ(x) ⎠ dν(y)
3.1 Margfeldi mengjaalgebra
(3.1) Skilgreining Látum X vera mengjaalgebru á X og Y vera mengjaalgebru á Y.
Við látum X a ×Y vera minnstu mengjaalgebruna á X ×Y sem inniheldur öll mengi E ×F
þar sem E ∈ X og F ∈ Y.
(3.2) Hjálparsetning
⎧
⎫
X × a ⎨ m⋃
⎬
Y = E
⎩ j × F j | E j ∈ X , F j ∈ Y, j = 1, . . . , m, m ∈ N
⎭
j=1
Sönnun. Þar sem öll E j × F j eru í X a × Y og X a × Y er mengjaalgebra, þá er ljóst að
hægri hliðin, sem við táknum með Z, er innihaldin í X a × Y. Það dugir því að sanna að
Z sé mengjaalgebra.
(i) ∅ = ∅ × ∅ ∈ Z
(ii) Ef A = ⋃ m
A ∩ B =
j=1 E j × F j og B = ⋃ n
k=1 G k × H k eru í Z, þá er
=
⎛
m⋃
⎝
m⋃
j=1
j=1 k=1
E j × F j
⎞
⎠ ∩
(
⋃ n
)
G k × H k =
k=1
n⋃
(E j ∩ G k ) × (F j ∩ H k ) ∈ Z
33
m⋃
j=1 k=1
n⋃
(E j × F j ) ∩ (G k × H k )

KAFLI 3. MARGFELDI MÁLRÚMA
Með þrepun fæst að
m⋂
A j ∈ Z
j=1
(iii) Ef A = ⋃ m
j=1 E j × F j ∈ Z, þá er
j=1
j=1
ef A j ∈ Z, j = 1, . . . , m
m⋂
m⋂
A ′ = (E j × F j ) ′ = (E j ′ × F j ) ∪ (E j ′ × F j) ′ ∪ (E j × F j) ′ ∈ Z
Þar með er Z mengjaalgebra.
(3.3) Athugasemd Athugum að
(A × B) ∪ (C × D) = [(A \ C) × B] ∪ [(A ∩ C) × (B ∪ D)] ∪ [(C \ A) × D]
Mengin hægra megin eru sundurlæg.
□
Með þrepasönnun má alhæfa þessa formúlu:
(3.4) Hjálparsetning
⎧
⎫
X ×Y a ⎨ m⋃
⎬
= E j × F j | E j ∈ X , F j ∈ Y, j = 1, . . . , m, m ∈ N, E j × F j eru sundurlæg
⎩
⎭
j=1
Sönnun. Æng.
(3.5) Skilgreining Látum X og Y vera mengjaalgebrur á X og Y og látum
X σ × Y = (X a × Y) σ
tákna minnstu σ-algebruna í P(X × Y ) sem inniheldur X a × Y.
34
□

KAFLI 3. MARGFELDI MÁLRÚMA
3.2 Margfeldi tveggja mála
(3.6) Skilgreining Látum (X, X , µ) og (Y, Y, ν) vera málrúm og (X × Y, Z, π) vera
formálrúm þannig að X a × Y ⊆ Z. Við segjum að π sé margfeldi µ og ν eða margfeldismál
µ og ν ef
π(E × F ) = µ(E)ν(F ),
E ∈ X , F ∈ Y
(3.7) Setning Til er nákvæmlega eitt formál á X a × Y sem er margfeldismál µ og ν.
Við táknum það með µ a × ν.
Sönnun. Skv. hjálparsetningu (3.4) má skrifa sérhvert E ∈ X a ×Y sem E = ⋃ m
j=1 C j ×D j
þar sem Cj ∈ X , D j ∈ Y og C j × D j eru sundurlæg. Við setjum
π(E) =
m∑
µ(C j )ν(D j )
j=1
Við verðum að sýna fram á að π sé vel skilgreint með þessari formúlu. Tökum því aðra
framsetningu E = ⋃ n
j=1 A j × B j þar sem A j ∈ X, B j ∈ Y og A j × B j eru sundurlæg.
Við þurfum að sýna að
n∑
µ(A j )ν(B j ) =
j=1
m∑
µ(C j )ν(D j )
Athugum að χ A×B (x, y) = χ A (x)χ B (y) gildir um öll mengi A × B ⊆ X × Y. Ef mengi
A j eru sundurlæg, þá er χ S A j
= ∑ χ Aj . Af þessu tvennu leiðir:
j
n∑
χ Aj (x)χ Bj (y) =
j=1
Festum x og heildum m.t.t. ν
=
j=1
n∑
χ Aj ×B j
(x, y) = χ E
j=1
m∑
χ Cj ×D j
(x, y) =
j=1
n∑
χ Aj (x)ν(B j ) =
j=1
Nú heildum við m.t.t. µ og fáum
n∑
µ(A j )ν(B j ) =
j=1
m∑
χ Cj (x)χ Dj (y)
j=1
m∑
χ Cj (x)ν(D j )
j=1
m∑
µ(C j )ν(D j )
Ljóst er að π(∅) = 0 og að π tekur gildi í [0, +∞]. Látum nú E j vera sundurlæg mengi
í X × a Y og gerum ráð fyrir að E = ⋃ +∞
j=1 E j ∈ X × a Y. Við þurfum að sýna að π(E) =
+∞∑
j=1
π(E j ).
j=1
35

KAFLI 3. MARGFELDI MÁLRÚMA
Skv. (3.4) er
E =
m⋃
C j × D j ,
j=1
og C j × D j eru sundurlæg. Eins höfum við að
E j =
k j
C j ∈ X , D j ∈ Y
⋃
(A j k × Bj k )
k=1
þar sem A j k ∈ X, Bj k ∈ Y og Aj k × Bj k
eru sundurlæg. Við höfum því framsetningu á E:
+∞ ⋃
k j
⋃
j=1 k=1
m A j k × Bj k = E = ⋃
C j × D j
þar sem A j k × Bj k
eru sundurlæg, j = 1, 2, . . . og k = 1, 2, . . . , k j , og kennifallið fyrir
sammengi þeirra er
+∞∑
k j
∑
j=1 k=1
χ A
j
k
(x)χ B
j (y) =
k
Við festum x og heildum m.t.t. ν og fáum
k +∞∑ ∑ j
χ A
j
k
j=1 k=1
síðan heildum við m.t.t. µ og fáum
j=1
m∑
χ Cj (x)χ Dj (y)
j=1
m
(x)ν(B j k ) = ∑
χ Cj (x)ν(D j )
j=1
Nú er
og
Við höfum því sannað að
+∞∑
k j
∑
m µ(A j k )ν(Bj k ) = ∑
µ(C j )ν(D j )
j=1 k=1
j=1
k j
∑
µ(A j k )ν(Bj k ) = π(E j)
k=1
m ∑
j=1
µ(C j )ν(D j ) = π(E)
+∞∑
j=1
π(E j ) = π(E)
□
Nú erum við komin með formálsrúm
36
(X × Y, X a × Y, µ a × ν)

KAFLI 3. MARGFELDI MÁLRÚMA
Látum nú (µ a × ν) ∗ tákna utanmálið af (µ a × ν) á P(X × Y ) og (X ∗ × Y) = (X a × Y) ∗ tákna
Carathéodory-útvíkkun X a × Y og µ × ν tákna einskorðun (µ a × ν) ∗ við X ∗ × Y. Málrúmið
(X × Y, X ∗ × Y, µ × ν) er fullkomið. X ∗ × Y nefnist Carathéodory-margfeldi X og Y og
µ × ν nefnist Carathéodory-margfeldi µ og ν.
Við höfum formúlu fyrir utanmálinu:
⎧
(µ × a ⎨
ν) ∗ (E) = inf
⎩
+∞∑
j=1
µ(E j )ν(F j ) | E ⊆
+∞ ⋃
j=1
⎫
⎬
E j × F j , E j ∈ X , F j ∈ Y, j = 1, 2, 3, . . .
⎭
Ótvíræðnisetning Hahns gefur að µ × ν er eina málið á X ∗ × Y sem er margfeldi µ og ν
og einskorðun µ × ν við X × Y er eina málið á X σ × Y sem er margfeldi µ og ν. Einnig
gildir um σ-endanleg málrúm (X, X , µ) og (Y, Y, ν) að
X ∗ × Y = (X σ × Y) ′
3.3 Einhalla mengjaokkar
(3.8) Skilgreining Hlutmengi A ⊂ P(X)ersagtveraeinhallaefumsérhverjavaxandi
runu (E n ) +∞
n=1 í A gildir að +∞ ⋃
E n ∈ A og um sérhverja minnkandi runu (F n ) +∞
n=1 í A
n=1
gildir að +∞ ⋂
F n ∈ A
n=1
(3.9) Athugasemd Ef A i er einhalla, i ∈ I, þá er ⋂ A einhalla.
Ef B ⊆ P(X), þá er til minnsti einhalla okkur B m ⊆ P(X) sem inniheldur B. Hann er
sniðmengi allra einhalla mengjaokka sem innihalda B.
i∈I
(3.10) Setning Ef A er mengjaalgebra, þá er A m = A σ .
Sönnun. Sjá 3.3.6. í JRS.
□
3.4 Tvöfalt heildi sem ítrekað einfalt heildi
Skoðum málrúmin (X, X , µ) og (Y, Y, ν).
37

KAFLI 3. MARGFELDI MÁLRÚMA
3.4.1 Snið mengja og falla
Ef E ⊆ X × Y, þá skilgreinum við x-sniðið af E,
og y-sniðið af E,
E x = {y ∈ T | (x, y) ∈ E},
E y = {x ∈ X | (x, y) ∈ E},
x ∈ X
y ∈ Y
Ef f : X × Y → Z er vörpun, þá er x-sniðið af f skilgreint með
f x : Y → Z, f x (y) = f(x, y), y ∈ Y, x ∈ X
og y-sniðið af f er skilgreint með
(3.11) Hjálparsetning
(1)
( ⋃
i∈I
E i
)
f y : X → Z, f y (x) = f(x, y), x ∈ X, y ∈ Y
E ix
= ⋃
x i∈I
(2) (χ E ) x = χ Ex , (F \ E) x = F x \ E x
(3) (f [−1] (S)) x = f x
[−1] (S)
(3.12) Hjálparsetning
(1) Ef E ∈ X σ × Y, þá er E x ∈ Y og E y ∈ X
(2) Ef f : X ×Y → R er X σ ×Y-mælanlegt, þá er f x Y-mælanlegt og f y X -mælanlegt.
Sönnun. Okkur dugir að líta á x-sniðin, því sönnunin er sú sama fyrir y-sniðin.
(1) Setjum
E = {E ∈ P(X × Y ) | E x ∈ Y ∀x ∈ X}
38

KAFLI 3. MARGFELDI MÁLRÚMA
Sýnum að E er σ-algebra sem inninheldur öll A × B með A ∈ X og B ∈ Y.
Hjálparsetning 3.11 gefur að E er σ-algebra.
Við höfum
(A × B) x =
{
B x ∈ A
∅
x ∉ A
Af þessu leiðir að A × B ∈ E fyrir öll A ∈ X og B ∈ Y. Þar með er X σ × Y ⊆ E.
(2) Til þess að sýna að f x sé Y-mælanlegt, þá dugir að sanna:
{y ∈ Y | f x (y) > α} ∈ Y
Nú er
{y ∈ Y | f x (y) > α} = {(x, y) ∈ X × Y | f(x, y) > α} x
Höfum að {(x, y) | f(x, y) > α} x ∈ Y skv. (1). Því er f x Y-mælanlegt.
□
(3.13) Setning (Tonelli) Látum (X, X , µ) og (Y, Y, ν) vera σ-endanleg málrúm og
F : X × Y → R + vera (X σ × Y)-mælanlegt fall. Þá eru föllin
og
mælanleg og
Við skrifum þetta einnig
∫
X×Y
∫
F d(µ × ν) =
∫
X ∋ x ↦→ f(x) =
∫
Y ∋ y ↦→ g(y) =
∫
X
X×Y
(∫
Athugum sértilfellið ef F er kennifall:
Y
Y
X
∫
F x dν =
∫
F y dµ =
∫
F d(µ × ν) =
X
Y
X
∫
f dµ =
F (x, y) dν(y)
F (x, y) dµ(x)
Y
g dν
) ∫ (∫
)
F (x, y) dν(y) dµ(x) = F (x, y) dµ(x) dν(y)
Y X
(3.14) Hjálparsetning (Setning Tonellis fyrir kenniföll) Gerum ráð fyrir að (X, X , µ)
og (Y, Y, ν) séu σ-endanleg og að E ∈ X σ × Y. Þá er fallið
ν(E (·) ), x ↦→ ν(E x )
X -mælanlegt og fallið
µ(E (·) ), y ↦→ µ(E y )
Y-mælanlegt og ∫
∫
ν(E (·) ) dµ = (µ × ν)(E) =
X
Y
µ(E (·) ) dν
39

KAFLI 3. MARGFELDI MÁLRÚMA
Sönnun. Veljum vaxandi runur (X n ) +∞
n=1 og (Y n ) +∞
n=1 af mengjum í X og Y með endanleg
mál, X = ⋃ X n og Y = ⋃ Y n . Setjum síðan Z n = X n × Y n . Þá er (µ × ν)(Z n ) < +∞ og
X × Y = ⋃ X n × Y n . Okkur dugir að sanna að ν(E (·) ) sé mælanlegt og að
∫
X
ν(E (·) ) dµ = µ × ν(E),
því sönnunin á hinni staðhængunni er eins. Setjum
ν(E (·) ) dµ = µ × ν(E)}
E = {E ∈ X × σ Y | ν(E (·) ) er mælanlegt og ∫ X
Viljum sanna að E = X × σ Y. Það gerum við með því að sýna að E sé einhalla mengjaalgebra.
(1) Látum (E n ) vera vaxandi runu í E og setjum E = ⋃ E n . Þá er (E nx ) vaxandi
runa í Y og E x = ⋃ E nx . Reglan um vaxandi samleitni gefur að
40
lim ν(E nx) = ν(E x ),
n→+∞
∀x ∈ X
Skv. skilgreiningu á E eru öll föllin x ↦→ ν(E nx ) mælanleg og því verður markgildið
x ↦→ ν(E x ) það einnig. Reglan um vaxandi samleitni gefur
lim
n→+∞
∫
X
∫
ν(E nx ) dµ(x) =
X
ν(E x ) dµ(x)
Við höfum því að E ∈ E.
(2) Tökum E, F ∈ E og g.r.f. að E ∩ F = ∅. Þá eru x ↦→ ν(E x ) og x ↦→ ν(F x )
mælanleg,
og
∫
∫
X
ν(E x ) dµ(x) = (µ × ν)(E)
ν(F x ) dµ(x) = (µ × ν)(F )
X
Nú er
x ↦→ ν((E ∪ F ) x ) = ν(E x ∪ F x ) = ν(E x ) + ν(F x )
því E x ∩ F x = ∅. Þetta segir okkur að x ↦→ ν((E ∪ F ) x ) sé mælanlegt.
Við höfum
∫
X
ν((E ∪ F ) x ) dµ(x) =
∫
X
∫
(ν(E x ) + ν(F x )) dµ(x) =
= (µ × ν)(E) + (µ × ν)(F ) = (µ × ν)(E ∪ F )
X
∫
ν(E x ) dµ(x) + ν(F x ) dµ(x)
X
Við höfum sýnt að E ∪ F ∈ E. Með þrepun fáum við að sérhvert endanlegt
m⋃
sammengi E j er í E ef E j eru sundurlæg í E. Skilgreinum fyrir n = 1, 2, 3, . . .
j=1
E n = {E ∈ X σ × Y | E ∩ Z n ∈ E}
(3) +∞ ⋂
E n ⊆ E:
n=1
Þetta er ljóst, því runan (E ∩ Z n ) er vaxandi og E = +∞ ⋃
E ∩ Z n ∈ E skv. (1).
n=1

(4) E n er einhalla mengjaokkur:
Af (1) leiðir beint að sammengi vaxandi runu í E n er í E n .
E k ∩ Z n ∈ E
⇒
( ⋃
k
E k
)
KAFLI 3. MARGFELDI MÁLRÚMA
∩ Z n = ⋃ k
(E k ∩ Z n ) ∈ E.
Tökum nú minnkandi runu (E k ) og setjum E = ⋂ E k . Þá er ((E k ∩ Z n ) x ) +∞
k=1
k
minnkandi runa af mengjum í Y með endanlegt ν-mál, því
(E k ∩ Z n ) x = E kx ∩ Y n
og sniðmengi þeirra er (E ∩ Z n ) x . Við höfum því skv. setningunni um minnkandi
samleitni
lim ν((E k ∩ Z n ) x ) = ν((E ∩ Z n ) x ) (3.1)
k→+∞
Nú er E k ∩ Z ∈ E og því er x ↦→ ν((E k ∩ Z n ) x ) mælanlegt og (3.1) segir að
x ↦→ ν((E ∩ Z n ) x ) sé einnig mælanlegt. Setningin um minnkandi samleitni gefur
að
∫
X
∫
((E ∩ Z n ) x ) dµ(x) = lim ν((E k ∩ Z n ) x ) dµ(x)
k→+∞ X
= lim (µ × ν)(E k ∩ Z n ) = (µ × ν)(E ∩ Z n )
k→+∞
Þar með er E n einhalla mengjaokkur.
(5) X × a Y ⊆ E n fyrir öll n:
Sérhvert E ∈ X × a ⋃
Y má skrifa E = m
A j × B j þar sem A j × B j eru sundurlæg,
j=1
svo okkur dugir að sanna að A × B ∈ E n með A ∈ X og B ∈ Y. Við fáum að
Nú er χ A∩Xn
∫
X
ν(((A × B) ∩ Z n ) x ) = ν(((A × B) ∩ (X n × Y n )) x )
= ν(((A ∩ X n ) × (B ∩ Y n )) x )
=
{
ν(B ∩ Yn ) ef x ∈ A ∩ X n
ν(∅) ef x ∉ A ∩ X n
= χ A∩Xn (x)ν(B ∩ Y n )
mælanlegt. Þerra sýnir að ν(((A × B) ∩ Z n ) x ) er mælanlegt fall.
ν(((A × B) ∩ Z n ) x ) dµ(x) =
∫
X
χ A∩Xn (x) dµ(x)ν(B ∩ Y n ) = µ(A ∩ X n )ν(B ∩ Y n )
= (µ × ν)((A × B) ∩ Z n )
Þar með er E = A × B ∈ E n .
(6) Þar sem E n er einhalla mengjaokkur sem inniheldur X a × Y, þá er ⋂ E n einhalla
mengjaokkur sem inniheldur X a × Y og þar með er
(X σ × Y) = (X a × Y) m ⊆ E
Þar með er E = X σ × Y og setningin er sönnuð.
□
41

KAFLI 3. MARGFELDI MÁLRÚMA
Sönnun (Setning Tonelli). Hjálparsetningin gefur tilfellið þegar F er kennifall. Af henni
leiðir setningin beint fyrir einföld föll
Φ =
m∑
a j χ Ej
j=1
Fyrir almennt fall F tökum ð vaxandi runu af kenniföllum Φ n ↗ F. Setningin um
vaxandi samleitni gefur
∫
ϕ n (x) =
Y
∫
Φ n (x, y) dν(y) −→
Y
F x dν = f(x)
Samkvæmt hjálparsetningu (hs) eru ϕ n mælanleg og af því leiðir að f er mælanlegt.
Setningin um vaxandi samleitni (vs) gefur
∫
X×Y
F d(µ × ν)
∫
vs
= lim
n→+∞
∫
vs
= f dµ
X
X×Y
Staðhængin um fallið g er sönnuð með hliðstæðum hætti.
Φ n d(µ × ν) = hs ∫
lim ϕ n (x) dµ(x)
n→+∞
X
(3.15) Setning (Fubini) Gerum ráð fyrir að (XX , µ) og (Y, Y, ν) séu σ-endanleg og
F : X × Y → R eða F : X × Y → C sé X σ × Y-mælanlegt og F ∈ L 1 (µ × ν).
(1) Um næstum öll x ∈ X er F x ∈ L 1 (ν).
(2) Um næstum öll y ∈ Y er F y ∈ L 1 (µ).
(3) Föllin f og g sem skilgreind eru næstum alls staðar með
eru heildanleg og
∫
f(x) =
∫
X
∫
F x dν og g(y) =
∫
f dµ =
X×Y
∫
F d(µ × ν) =
Y
Y
F y dµ
g dν .
□
3.5 Lebesgue-málið á R n
Ef X 1 , . . . , x n eru mengi og X 1 , . . . , X n eru σ-algebrur á þeim, þá má skilgreina mengjaalgebru
X a × · · · a
× X n
sem minnstu mengjaalgebru sem inniheldur öll margfeldismengi
42
E 1 × · · · × E n ,
E j ∈ X j

KAFLI 3. MARGFELDI MÁLRÚMA
Hjálparsetning
Tengiregla gildir
Ef µ j er formál á X j , þá er
(X 1
a
× X2 ) a × X 3 = X 1
a
× X2
a
× X3 = X 1
a
× (X2
a
× X3 )
Þetta leyr okkur að skilgreina með þrepun
Af þessu leiðir svo almenn tengiregla
(µ 1 × µ 2 ) × µ 3 = µ 1 × (µ 2 × µ 3 )
µ 1 × · · · × µ n = (µ 1 × · · · × µ n−1 ) × µ n
µ 1 × · · · × µ n = (µ 1 × · · · × µ k ) × (µ k+1 × · · · × µ n )
Lebesgue-málið m n á R n er margfeldismálið
(R n , M n , m n )
þar sem M n er margfeldi n-þáa af Lebesgue-algebrunni M á R og m n er margfeldi n
þátta af Lebesgue málum m á R.
43

KAFLI 3. MARGFELDI MÁLRÚMA
44

Kai 4
L p -rúm
(4.1) Skilgreining Látum 1 ≤ p ≤ +∞, (X, X , µ) vera málrúm og µ(X) > 0. Látum
f ∈ M(X, X ). Við skilgreinum p-staðalinn
(∫
||f|| p = ||f|| p,µ =
X
|f| p dµ) 1/p
, 1 ≤ p < +∞
||f|| ∞ = ||f|| ∞,µ = inf{α ∈ [0, +∞]; |f| ≤ α µ −n.a.}
(4.2) Skilgreining Fallið f ∈ M(X, X )ersagtvera takmarkað að mestu (m.t.t.
µ) ef til er 0 < α < +∞ þannig að
|f| ≤ α µ −n.a.
(4.3) Setning EF f er takmarkað að mestu, þá er
Sönnun. Athugum að
er núllmengi. Þá er N = +∞ ⋃
(4.4) Athugasemd
|f| < ||f|| ∞
µ − n.a.
N n = {x ∈ X | |f(x)| ≥ ||f|| ∞ + 1 n }
n=1
N n einnig núllmengi og ef x ∈ N, þá er |f(x)| ≤ ||f|| ∞ . □
f = 0 n.a. ⇒ ||f|| p = 0 ∀p ∈ [1, +∞]
Ef til er p ∈ [1, +∞], þannig að ||f|| p = 0, þá er f = 0 n.a.
4.1 Kúpt föll og ójafna Jensens
(4.5) Skilgreining Látum −∞ ≤ a < b ≤ +∞. Fall ϕ : a, b[→ R er sagt vera kúpt
er línustrikið milli sérhverra tveggja punkta (x, ϕ(x)) og (y, ϕ(y)) á gra þess er yr
granu,
ϕ((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)ϕ(x) + tϕ(y), t ∈ [0, 1] (4.1)
[mynd - kúpt fall, x og y á láréttum ás og z á milli þeirra; línustrik milli ϕ(x) og ϕ(y)
og punkturinn á línustrikinu yr z (sem er náttúrlega yr ϕ(z)) ]
45

KAFLI 4. L P -RÚM
Setjum z = (1 − t)x + ty og leysum út fyrir t:
t = z − x
y − x ,
Drögum ϕ(x) frá báðum hliðum ójöfnu (4.1)
þ.e.
1 − t = y − z
y − x
ϕ(z) − ϕ(x) ≤ −tϕ(x) + tϕ(y) = t(ϕ(y) − ϕ(x)) = z − x (ϕ(y) − ϕ(x))
y − x
ϕ(z) − ϕ(x)
z − x
≤
ϕ(y) − ϕ(x)
y − x
(4.2)
Þessi jafna segir okkur að sniðill út frá x hefur vaxandi hallatölu.
[mynd - kúpt fall ϕ yr láréttum ás með x, z, y. Strik milli ϕ(z) og ϕ(x), ϕ(x) og ϕ(y) ]
Drögum núna ϕ(z) frá báðum hliðum ójöfnu (4.1)
0 ≤ (1 − t)(ϕ(x) − ϕ(z)) + t(ϕ(y) − ϕ(z)) = y − z
z − x
(ϕ(x) − ϕ(z)) + (ϕ(y) − ϕ(z))
y − x y − x
Af þessu leiðir
ϕ(x) − ϕ(z)
x − z
≤
ϕ(y) − ϕ(x)
y − z
(4.3)
[mynd - kúpt fall ϕ yr láréttum ás með x, z, y. Strik milli ϕ(z) og ϕ(x), ϕ(z) og ϕ(y) ]
Drögum núna ϕ(y) frá báðum hliðum ójöfnu (4.1)
Af þessu leiðir
ϕ(z) − ϕ(y) ≤ (1 − t)(ϕ(x) − ϕ(y))
ϕ(y) − ϕ(x)
y − x
≤
ϕ(y) − ϕ(z)
y − z
(4.4)
[mynd - kúpt fall ϕ yr láréttum ás með x, z, y. Strik milli ϕ(y) og ϕ(x), ϕ(z) og ϕ(y) ]
Nú gefa ójöfnur (4.2)-(4.4) að fallið
h ↦→
ϕ(x + h) − ϕ(x)
h
ef vaxandi fyrir öll x ∈]a, b[, Afþví leiðir að aeiður frá hægri og vinstri eru til
ϕ ′ +(x) = lim
h→0 + ϕ(x + h) − ϕ(x)
h
ϕ ′ −(x) = lim
h→0 − ϕ(x + h) − ϕ(x)
h
og
ϕ ′ −(x) ≤ ϕ ′ +(x)
Af þessu leiðir að ϕ er samfellt í sérhverjum punkti.
46

KAFLI 4. L P -RÚM
[mynd - kúpt fall ϕ með brot í punktinum x; snertlar við graf í x, hallatala annars er
ϕ ′ −(x) og hallatala hins er ϕ ′ +(x); lína gegnum (x, ϕ(x)) með hallatölu milli ϕ ′ −(x) og
ϕ ′ +(x). ]
Ef β ∈ R og ϕ ′ −(x) ≤ β ≤ ϕ ′ +(x) þá liggur línan gegnum (x, ϕ(x)) með hallatölu β undir
gra ϕ.
(4.6) Setning (Ójafna Jensens) Látum (X, X , µ) vera líkindarúm, f ∈ M(X, X ) með
gildi í ]a, b[ og ϕ vera kúpt fall á ]a, b[. Þá er
(∫ ) ∫
ϕ f dµ ≤
X
X
ϕ ◦ f dµ
Sönnun. Setjum t = ∫ X
f dµ. Sáum í dæmi 1.9.15 að t ∈]a, b[. Tökum tölu β, þ.a.
ϕ ′ −(t) ≤ β ≤ ϕ +(t). Þá er
′
Þar með er
Nú heildum við m.t.t. µ
∫
X
ϕ(y) ≥ ϕ(t) + β(y − t), y ∈]a, b[
ϕ(f(x)) ≥ ϕ(t) + β(f(x) − t),
x ∈ X
(∫ )
ϕ ◦ f dµ ≥ ϕ(t) + β f dµ − t = ϕ(t)
X
□
Veldisvísisfallið x ↦→ e x er kúpt. Tökum nú 1 < p, q < +∞ þannig að
Vitum að
1
p + 1 q = 1
uv = exp(ln u) exp(ln v) = exp( 1 p ln up ) exp( 1 q ln vq ) = exp( 1 p ln up + 1 q ln vq )
≤
1 p exp(ln up ) + 1 q exp(ln vq ) = 1 p up + 1 q vq
(4.7) Setning (Ójafna Hölders) Ef 1 < p, q < +∞, 1 p + 1 q
er
∫
||fg|| 1 =
X
(∫
|fg| dµ ≤
X
= 1 og f, g ∈ M(X, X ), þá
) 1/p (∫
1/q
|f| p dµ |g| dµ) q = ||f|| p ||g|| q
X
Sönnun. Ef ∫ X |f|p dµ = 0, þá er f = 0 n.a. og ljóst er að ójafnan gidlir. Sama er að
segja ef ∫ X |g|q dµ = 0. Megum því gera ráð fyrir að 0 < ∫ X |f|p dµ og 0 < ∫ X
dµ. Ef
annað heilsanna er +∞, þá gildir ójafnan. Við megum því gera ráð fyrir að
|g|q
Skilgreinum
∫
0 <
X
|f| p dµ < +∞ og 0 <
F (x) = f(x)
||f|| p
,
∫
X
|g| q dµ < +∞
G(x) = g(x)
||g|| q
47

KAFLI 4. L P -RÚM
Þá er
Ójafnan
gefur
∫
Þessi ójafna jafngildir
og þar með er
∫
X
X
F G dµ ≤ 1 p
(4.8) Setning (Ójafna Minkovskis)
|F | p dµ = 1,
∫
∫
∫
X
∫
X
uv ≤ 1 p up + 1 q vq
X
F p dµ + 1 q
X
∫
X
|fg|
||f|| p ||g|| q
dµ ≤ 1
|fg| dµ ≤ ||f|| p ||g|| q
|G| q dµ = 1
G q dµ = 1 p + 1 q = 1
□
Sönnun. Við athugum að
1
p + 1 q
||f + g|| p ≤ ||f|| p + ||g|| p
= 1 ⇔ p + q = pq ⇔ pq − q = p ⇔ pq − p = q ⇔ p − p/q = 1
Við fáum því með ójöfnu Hölders
(||f + g|| p ) p =
≤
≤
∫
∫
|f + g| p dµ = |f + g| |f + g| p−1 dµ
∫X
∫
∫
(|f| + |g|)|f + g| p−1 dµ = |f| |f + g| p−1 dµ + |g| |f + g| p−1 dµ
(∫
) 1/p (∫
|f| p dµ
1/q (∫
|f + g| dµ) pq−q +
= (||f|| p + ||g|| p )||f + g|| p/q
p
Af þessu leiðir að
||f + g|| p−p/q
p ≤ ||f|| p + ||g|| p
Þar sem p − p/q = 1, þá gildir ójafnan.
) 1/p (∫
|g| p dµ
(4.9) Skilgreining Látum V vera vigurrúm yr C. Hálfstaðall (e. seminorm) á
V er fall
|| · || : V → R
sem uppfyllir
(i) ||x|| ≥ 0, x ∈ V
48
(ii) ||cx|| = |c| ||x||, c ∈ C, x ∈ V
(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, x, y ∈ V
Ef að auki gildir:
) 1/q
|f + g| pq−q dµ
□

KAFLI 4. L P -RÚM
(iv) ||x|| = 0 ⇔ x = 0
Þá nefnist || · || staðall (e. norm).
Höfum að || · || p er hálfstaðall á L p (X, X , µ) = L p (µ). Athugum að ||f|| p = 0 þþaa f = 0
n.a.
Ef W er hlutrúm í V og || · || hálfstaðall á V, þá fæst hálfstaðall á V/W með
||| [x] ||| = inf{||x + y|| | y ∈ W }
Þríhyrningsójafnan gefur að
W = {x ∈ V | ||x|| = 0}
er hlutrúm í V og ||| · ||| verður staðall á V/W.
Við skilgreinum nú
N = {f ∈ M(X, X ) | f = 0 n.a.}
og
L p (X, X , µ) = L p (x, X , µ)/N
Vigurrúm V veð staðli || · || er rþrúm með rðinni
(x, y) ↦→ ||x − y||
Vigurrúmið nefnist Banach-rúm ef það er fullkomið með þessari rð.
(4.10) Setning (Setning Lebesgues um yrgnæfða samleitni í L p -rúmi) Látum p ∈ [1, +∞[
og (f n ) vera runu í L p (µ) og f ∈ M(X, X ) þannig að f n → f n.a. Gerum ráð fyrir að
g ∈ L p (µ) og að |f n | ≤ g n.a. Þá er f ∈ L p (µ) og f n → f í L p (µ).
Sönnun. Ef p = 1m þá er þetta Lebesgue-setningin. Af |f n | ≤ g leiðir að f ∈ L p (µ), því
|f| ≤ g n.a. Nú,
|f n − f| p ≤ 2 p g p
og |f n − f| → 0 n.a. og því gefur setning Lebesgues að
∫
|f n − f| p dµ → 0, n → +∞
(4.11) Athugasemd
|| [f] || p = ||f|| p
(4.12) Setning (Riesz-Fischer) L p (µ) er Banach-rúm fyrir öll p ∈ [1, +∞].
Sönnun. Tökum fyrst p ∈ [0, +∞[. Látum (f n ) vera Cauchy-runu í L p (µ). Þurfum að
sýna að til sé f í L p (µ) þannig að ||f n − f|| p → 0 ef n → +∞. Tökum n k ↗ +∞ þannig
að
||f n − f m || p < 2 −k n, m ≥ n k
49

KAFLI 4. L P -RÚM
Við setjum
g = |f n1 | +
k=1
Athugum nú að setningin um vaxandi samleitni og Minkovski ójafnan gefa að
( ∫ (
) 1/p
||g | | p = lim
N→+∞
= lim
N→+∞ || |f n 1
+
≤
lim ||f n 1
|| p +
N→+∞
≤ ||f n1 || p + 1
Þetta segira ða g ∈ L p (µ) og að röðin
sé samleitin n.a. Skilgreinum
f n1 +
+∞∑
|f n1 | +
+∞∑
k=1
|f nk+1 − f nk |
p
N∑
|f nk+1 − f nk |)
dµ
k=1
N∑
|f nk+1 − f nk | || p
k=1
f(x) = f n1 (x) +
N∑
||f nk+1 − f nk || p
k=1
(f nk+1 − f nk )
+∞∑
k=1
f nk+1 (x) − f nk
í punktum x þar sem röðin er samleitin og f(x) = 0 í öðrum punktum x. Þá er f
mælanlegt, |f| ≤ g og þar með f ∈ L p (µ).
Nú er
+∞∑
f = f nj + (f nk+1 − f nk ) n.a.
og því er
k=j
|f − f nj | ≤
+∞∑
k=j
|f nk+1 − f nk |
Af þessu leiðir að
f nj → f í L p (µ) ef j → +∞
Caucy-runan (f n ) hefur hlutrunu sem stefnir á f. Hún er því samleitin með markgildið
f.
Gerum nú ráð fyrir að p = +∞. Fyrir j, k = 1, 2, 3, . . . skilgreinum við
A k = {x | |f k (x)| > ||f k || ∞ }
B j,k = {x | |f j (x) − f k (x)| > ||f j − f k || ∞ }
Allt eru þetta núllmengi og sammengi þeirra N er einnig núllmengi. Á menginu X \ N
er (f n ) Cauchy-runa í j.m. Hún hefur þá markgildi f(x) í sérhverjum punkti x ∈ X \ N
og samleitnin er í jöfnum mæli. Við setjum f(x) = 0 á x ∈ N og fáum þá að f n → f í
L ∞ (µ).
□
50

Af þessari sönnun leiðir:
KAFLI 4. L P -RÚM
(4.13) Fylgisetning Látum p ∈ [1, +∞[ og f n ∈ L p (µ), f n → f í L p (µ). Þá hefur (f n )
hlutrunu sem stefnir á f n.a.
(4.14) Fylgisetning Látum f n ∈ L ∞ (µ) og f ∈ L ∞ (µ), þá stefnir f n á f í L ∞ (µ) ef
og aðeins ef til er núllmengi N þannig að fn → f í j.m. á X \ N.
(4.15) Athugasemd Skoðið vel
+∞
l p = {(a n ) +∞
n=1 | ∑
|a n | p < +∞}
n=1
( +∞
) 1/p
∑
||a|| = |a n | p
n=1
4.2 Ójafna Minkovskis í almennri gerð
(4.16) Setning (Öfuga Hölder-ójafnan) Látum (X, X , µ) vera endanlegt málrúm og
1 ≤ p, q ≤ +∞, 1 p + 1 q = 1, α ∈ R, α ≥ 0 og g ∈ M + (X, X ). Ef
þá er
(HS 4.8.4. hjá JRS.)
∫
0 ≤
X
fg dµ ≤ α||f|| p , ∀f ∈ L p (µ), f ≥ 0,
g ∈ L q (µ) og ||g|| q ≤ α
Sönnun. Gerum ráð fyrir að p = +∞. Þá er q = 1. Ef við tökum f = 1, þá sjáum við að
∫
0 ≤
X
g dµ ≤ α
Þar með er g ∈ L 1 (µ) og ||g|| 1 ≤ α.
Gerum næst ráð fyrir að p = 1. Þá er q = +∞. Þurfum að sýna að g ≤ α n.a. Við höfum
að
∫
0 ≤ gχ E dµ ≤ α||χ E || 1 = αµ(E), ∀E ∈ X (4.5)
X
Setjum nú fyrir öll β ≥ 0, E β = {x ∈ X | g(x) > β}. Viljum sýna að µ(E α ) = 0. Ef við
gerum ráð fyrir að µ(E a lpha) > 0, þá er til n > 0 þannig að µ(E α+
1 ) > 0. Af þessu
n
leiðir að
∫ ∫
g dµ =
E α
gχ Eα > α
Þetta er í mótsögn við 4.5. Þar með er E α núllmengi pg g ≤ α n.a.
51

KAFLI 4. L P -RÚM
Gerum nú ráð fyrir að 1 < p < +∞. Þá er 1 < q < +∞. Þar sem málið er enndanlegt,
þá er 1 ∈ L p (µ). Við höfum
∫
0 ≤
∫
g dµ ≤ α||1|| p =
(∫ ) 1/p
α 1 p dµ = αµ(X) 1/p
X
Þar með er g ∈ L 1 (µ) og því er g [−1] ({+∞}) núllmengi. Lítum á mengin
E n = {x ∈ X | g(x) ≤ n},
f n = χ En g q−1
Þá er f n ≤ n . Þar með er q−1 f n ∈ L p (µ). Nú er E n vaxandi og X \ +∞ ⋃
núllmengi.
Lítum nú á ∫ ∫
∫
Nú er
Nú höfum við
0 ≤ ||g|| q =
0 ≤
(∫
X
E n
g q dµ =
gχ En g q−1 dµ =
n=1
gf n dµ ≤ α||f n || p
f p n = χ En (g q−1 ) p = χ En g pq−p = χ En g q
1/q (∫
1/q (∫
g dµ) q = lim χ En g dµ) q = lim
n→+∞
X
n→+∞
E n = g [−1] (+∞)
) 1/q
fn p dµ
Við höfum
Því er
og þar með er
= lim ||f n|| p/q
n→+∞
p
||f n || p p = ||χ En g|| q q ≤ α||f n || p
||f n || p−1
p
= ||f n || p/q
p
||g|| q ≤ α
≤ α
□
(4.17) Setning (Alhæfða Minkovski-ójafnan) Látum (X, X , µ) og (Y, Y, ν) vera σ-endanleg
málrúm, F : X × Y → R eða F : X × Y → C vera X × σ Y-mælanlegt og p ≥ 1. Þá er
∫
∫
∣∣
F (·, y) dν(y)
∣∣ ≤ ||F (·, y)|| p dµ
p
Y
Y
þ.e.a.s.
(∫
X
∫
∣
Y
F (x, y) dν(y)
∣
p
1/p ∫
dµ(x))
≤
Y
(∫
X
|F (x, y)| p dµ(x)) 1/p
dν(y)
52

Kai 5
Alsamfelld mál
5.1 Sundurliðun á hleðslum
(5.1) Skilgreining Látum (X, X ) vera mælanlegt rúm. Hleðsla á X er mengjafall
λ : X → R sem uppfyllir
(i) λ(∅)
(
= 0
)
+∞⋃
E j = +∞ ∑
(ii) λ
λ(E j ), E j ∈ X, E j ∩ E k = 0∅, j ≠ k
j=1 j=1
(iii) λ tekur í mesta lagi annað gildið +∞ og −∞.
Munum: Ef E j er vaxandi mengjaruna í X, þá er
⎛
λ ⎝
+∞ ⋃
j=1
⎞
E j
⎠ = lim λ(E j)
j→+∞
Ef E j er minnkandi mengjaruna í X og λ(E 1 ) ≠ ±∞, þá er
⎛
λ ⎝
+∞ ⋂
j=1
⎞
E j
⎠ = lim λ(E j)
j→+∞
(5.2) Skilgreining Mengi P er sagt vera
(i) Jákvætt m.t.t. λ ef λ(E ∩ P ) ≥ 0 fyrir öll E ∈ X
(ii) Neikvætt m.t.t. λ ef λ(E ∩ P ) ≤ 0 fyrir öll E ∈ X
(iii) Núllmengi m.t.t. λ ef λ(E ∩ P ) = 0 fyrir öll E ∈ X
(5.3) Setning (Sundurliðunarsetning Hahns) Látum λ vera hleðslu á (X, X ). Þá er til
mælanlegt mengi P þannig að P er jákvætt m.t.t. λ og P ′ er neikvætt m.t.t. λ.
(5.4) Hjálparsetning
(i) Ef P ∈ X er jákvætt og Q ⊆ P, þá er Q jákvætt.
53

KAFLI 5. ALSAMFELLD MÁL
(ii) Ef P j ∈ X eru jákvæð, j = 1, 2, 3, . . ., þá er +∞ ⋃
j=1
P j jákvætt.
(iii) Ef E ∈ X og λ(E) ≥ 0, þá er til jákvætt P ∈ X þ.a. P ⊆ E og λ(P ) ≥ λ(E).
Sönnun.
(i) Ef E ∈ X, þá er E ∩ Q = (E ∩ Q) ∩ P og því λ(E ∩ Q) = λ((E ∩ Q) ∩ P ≥ 0
(ii) Ef E ∈ X, þá eru mengin E 1 = E ∩ P 1 , E j = (E ∩ P j ) \ (P 1 ∪ · · · ∪ P j−1 ), j ≥ 2
sundurlæg og því er
λ(E ∩ P ) =
=
+∞∑
j=1
+∞∑
j=1
λ(E j ) =
+∞∑
j=1
λ((E ∩ P j ) \ (P 1 ∪ · · · ∪ P j−1 ))
λ((E ∩ P ′ 1 ∩ · · · ∩ P ′ j−1) ∩ P j ) ≥ 0
(iii) Ef E er jákvætt, þá tökum við P = E. Gerum því ráð fyrir að E sé ekki jákvætt.
Látum n 1 vera minnstu náttúrlegu töluna þannig að til er E 1 ⊆ E, E 1 ∈ X með
λ(E 1 ) < − 1 n 1
.Hugsum okkur nú að k > 1, k ∈ N og að fyrir j ∈ [1, k − 1] höfum
við valið E j ⊆ E, E j ∈ X og n j ∈ N, þannig að E j eru sundurlæg og n j er
minnsta náttúrlega talan þannig að λ(E j ) < − 1 n j
. Ef E \ k−1 ⋃
E j er jákvætt, þá
j=1
veljum við P sem þetta mengi og þrepun er lokið með E k = E k+1 = · · · = ∅.
Annars tökum við E k ⊆ E\ k−1 ⋃
E j valið þannig að λ(E k ) ≤ − 1
n k
og n k er minnsta
j=1
mögulega náttúrlega talan sem hægt er að velja. Nú setjum við N = +∞ ⋃
E j og
j=1
P = E \ N. Mengin E j eru sundurlæg og því er
λ(E) = λ(P ) + λ(N) = λ(P ) +
+∞∑
j=1
λ(E j ) ≤ λ(P )
Á þessu sést líka að λ(E) ≥ 0 hefur í för með sér að −∞ ≤ +∞ ∑
λ(E j ) ≤ 0 og þar
með er +∞ ∑
1/n k < +∞. Því gildir sérstaklega að n k → +∞.
k=1
Við þurfum nú að sanna að P sé jákvætt, þ.e.a.s. að λ(P ∩A) ≥ 0 fyrir öll A ∈ X.
Við höfum að
P ⊆ E \
k⋃
j=1
svo að P getur ekki innihaldið neitt mælanlegt mengi B með λ(B) ≤ −1/n k .
Fyrst n k → +∞, þá sést af þessu að λ(B) ≥ 0 fyrir öll B ⊆ P. Þar með fæst að
λ(A ∩ P ) ≥ 0 fyrir öll A ∈ X.
□
Sönnun (Sundurliðunarsetning Hahns). Ef λ tekur gildið +∞, þá skiptum við á λ og
−λ. Við getum því g.r.f. að λ taki ekki gildið +∞. Skilgreinum nú
54
E j
∀k
α := sup{λ(A) | A ∈ X , A jákvætt m.t.t. λ}
j=1

KAFLI 5. ALSAMFELLD MÁL
Þar sem λ(∅) = 0, þá fæst að α ≥ 0. Veljum runu (A j ) þ.a. λ(A j ) → α og A j jákvæð.
Megum g.r.f. að (A j ) sé vaxandi því hjálparsetn. 5.4(ii) segir að ⋃ +∞
i=1 A i sé jákvætt.
Setjum
Þá fæst
j=1
B k = A k og B j = A j \
⎛ ⎞ ⎛
k⋃
k⋃
λ ⎝ A j
⎠ = λ ⎝
j=1
B j
⎞
⎠ =
k∑
j=1
k⋃
i=j+1
A i , j ∈ [1, k − 1]
λ(B j ) = λ(A k ) +jákvæð tala
Tökum nú P = ⋃ +∞
j=1 A j. Þá er P jákvætt skv. hs. 5.4(ii). Þurfum að sanna að N = P
sé neikvætt. Ef ′
N er ekki neikvætt, þá er til A ∈ X þ.a. A ⊆ N og λ(A) > 0. Skv. hs.
5.4(iii) er til Q ⊆ A, Q ∈ X þ.a. Q er jákvætt og λ(Q) ≥ λ(A). Skv. hs. 5.4(ii) er P ∪ Q
jákvætt, þar sem P ∩ Q = ∅. Þá er λ(P ∪ Q) = λ(P ) + λ(Q) > α. Mótsögn. □
(5.5) Skilgreining Ef λ er hleðsla á X, þá nefnist tvennd (P, N) af mælanlegum
mengjum Hahn-sundurliðun á X m.t.t. λ ef
(i) N = P
(ii) ′
P er jákvætt m.t.t. λ
(iii) N er neikvætt m.t.t. λ.
(5.6) Setning Ef (P 1 , N 1 ) og (P 2 , N 2 ) eru tvær Hahn-sundurliðanir á X m.t.t. λ, þá
er
λ(E ∩ P 1 ) = λ(E ∩ P 2 ) og λ(E ∩ N 1 ) = λ(E ∩ N 2 )
fyrir öll E ∈ X .
(5.7) Skilgreining Látum λ vera hleðslu á X og (P, N) vera Hahn-sundurliðun á
henni. Við skilgreinum þá málin λ + og λ − með
λ + (E) = λ(E ∩ P ) og λ − (E) = −λ(E ∩ N)
Þau nefnast jákvætt og neikvætt vik hleðslunnar λ. Málið
nefnist heildarvik hleðslunnar λ.
|λ| = λ + + λ −
(5.8) Athugasemd
(i) λ = λ + − λ −
(ii) |λ(E)| og |λ|(E) er sitt hvor hluturinn.
(5.9) Setning Fyrir sérhverja hleðslu λ gildir:
(i) |λ(E)| ≤ |λ|(E)
(ii) Ef λ = µ − ν þar sem µ og ν eru mál, þá er λ + ≤ µ og λ − ≤ ν.
(iii) Ef λ er endanleg hleðsla, þá er |λ| endanlegt mál.
(iv) Ef λ og τ eru hleðslur og λ + τ er vel skilgreind hleðsla, þá er
|λ + τ| ≤ |λ| + |τ|
55

KAFLI 5. ALSAMFELLD MÁL
(5.10) Setning Ef µ er mál og f ∈ M R
(X, X ) þannig að f + ∈ L 1 (µ) eða f − ∈ L 1 (µ),
þá er
∫
µ f (E) =
E
f dµ,
E ∈ X
vel skilgreind hleðsla á X og
∫
∫
µ + f (E) = f + dµ = µ f + og µ − f (E) =
Einnig
Sem Hahn-sundurliðun getum við tekið
E
∫
|µ f |(E) =
E
|f| dµ
P f = f [−1] ([0, +∞[), N f = f [−1] (]−∞, 0[)
E
f − dµ = µ f −
(5.11) Skilgreining Ef µ og λ eru mál á (X, X ), þá segjum við að λ alsamfellt
m.t.t. µ (táknað λ ≪ µ) ef um sérhvert µ-núllmengi E gildir að E er λ-núllmengi.
(5.12) Athugasemd Fyrir öll f ∈ M R
(X, X ) þannig að µ f er vel skilgreind hleðsla
gildir að µ f ≪ µ.
(5.13) Setning Höfum að (2) ⇒ (1):
(1) λ ≪ µ
(2) Fyrir öll ε > 0 er til δ > 0 þannig að µ(E) < δ ⇒ λ(E) < ε.
Ef λ er endanlegt, þá gildir (1) ⇔ (2).
Sönnun. (2) ⇒ (1): Látum F ∈ X og g.r.f. að µ(F ) = 0. Tökum ε > 0 og veljum δ > 0
þannig að (2) gildi. Sérstaklega gildir λ(F ) = 0 og þar með gildir (1).
Gerum nú ráð fyrir að λ(X) < +∞. Ef (2) gildir ekki, þá er til ε > 0 þannig að
um sérhverja náttúrlega tölu n er til E n þ.a. µ(E n ) < 2 , en −n λ(E n ) ≥ ε. Setjum
F n ) ⋃ +∞
k=n E k. Þá fæst minnkandi runa
Setjum E = ⋂ +∞
n=1 F n. Þá er
µ(F n ) ≤
+∞∑
k=n
µ(E k ) < 2 −n+1
µ(E) =
Þar sem λ(F 1 ) < +∞, þá fáum við einnig
lim µ(F n) = 0
n→+∞
(⋂ )
λ(E) = λ Fn = lim λ(F n) ≥ lim sup λ(E n ) ≥ ε
n→+∞
Þar með gildir (1) ekki. Mótsögn.
56
n
□

KAFLI 5. ALSAMFELLD MÁL
(5.14) Setning (Radon og Nikodým) Ef µ er σ-endanlegt oog λ ≪ µ, þá er til f ∈
M + (X, X ) þannig að λ = µ f , þ.e.a.s.
∫
λ(E) =
E
f dµ,
E ∈ X
Fallið f nefnist Radon-Nikodým afleiða λ m.t.t. µ og er táknuð dλ
dµ .
Sönnun. G.r.f. að λ og µ séu endanleg. Fyrir sérhvert c > 0 látum við (P c , N c ) vera
Hahn-sundurliðun hleðlsunnar λ − cµ. Skilgreinum
og
Af þessu leiðir að
og þar með
k−1
⋃
A 1 = N c , A k = N kc \ N jc = N kc ∩ P 1·c ∩ P 2·c ∩ · · · ∩ P (k−1)c
j=1
( +∞
) ′ (
⋃
+∞
) ′
⋃
B = A k = N kc =
k=1
k=1
(λ − kcµ)(B) ≥ 0 ∀k
λ(B) − kcµ(B) ≥ 0
∀k
+∞ ⋂
P kc
k=1
og því er µ(B) = 0. Fyrst λ ≪ µ þá gildir einnig að λ(B) = 0.
Við skilgreinum fallið
g c =
+∞∑
(k − 1)cχ Ak
k=1
Tökum nú mengi E ∈ X. Um öll k = 1, 2, 3, . . . gildir að
Þetta gefur tvær ójöfnur:
E ∩ A k ⊆ N kc ∩ P (k−1)c
(λ − kcµ)(E ∩ A k ) ≤ 0 og (λ − (k − 1)cµ(E ∩ A k ) ≥ 0
Setjum þetta tvennt saman í
(k − 1)cµ(E ∩ A k ) ≤ λ(E ∩ A k ) ≤ kcµ(E ∩ A k )
Nú er E = (E ∩ B) ∪ (E ∩ ⋃ +∞
k=1 A k), B er núllmegni og mengin A k eru sundurlæg. Þar
með er
∫
E
g c dµ =
≤
≤
=
+∞∑
k=1
+∞∑
k=1
+∞∑
k=1
∫
E
(k − 1)c µ(E ∩ A k )
λ(E ∩ A k ) = λ
(
∫
kcµ(E ∩ A k ) =
g c dµ + c µ(E)
E ∩
E
+∞ ⋃
k=1
g c dµ + c
A k
)
= λ(E \ B) = λ(E)
+∞∑
k=1
µ(E ∩ A k )
57

KAFLI 5. ALSAMFELLD MÁL
Nú setjum við c = 1 n
og f n = g 1/n ∈ M(X, X ). Um öll E ∈ X gildir
∫
E
∫
f n dµ ≤ λ(E) ≤
E
f n dµ + 1 n µ(E)
Við gáfum okkur að λ(X) < +∞. Af því leiðir að f n ∈ L 1 (µ). Runan (f n ) reynist vera
Cauchy-runa í L 1 (µ). Hún hefur markgildi f og
lim
n→+∞
∫
∫
f n dµ =
[Skoða lok sönnunar í bók JRS.]
□
(5.15) Skilgreining Látum λ vera hleðslu og µ vera mál á (X, X ). Við segjum við að
λ sé alsamfelld m.t.t. µ og táknum það með λ ≪ µ ef |λ| ≪ µ.
f dµ
(5.16) Setning (Radon og Nikodým, fyrir hleðslur) Ef µ er σ-endanlegt og λ er endanleg
hleðsla á X þannig að λ ≪ µ, þá er λ = µ f þar sem f ∈ L 1 (µ).
Fallið f nefnist Radon og Nikodým afleiða λ m.t.t. µ, táknað dλ
dµ .
5.2 Sundurlæg mál
(5.17) Skilgreining Málin λ og µ á σ-algebrunni X eru sögð vera sundurlæg,
táknað λ ⊥ µ, ef til er A ∈ X þannig aða λ(A) = 0 = µ(A ′ ).
Hleðslur λ og µ eru sagðar vera sundurlægar, táknað λ ⊥ µ, ef |λ| ⊥ |µ|.
(5.18) Setning (Sundurliðunarsetning Lebesgue) Látum λ og µ vera σ-endanleg mál
á σ-algebru X .
(1) Til er nákvæmlega ein sundurliðun
λ = λ 1 + λ 2
þannig að λ 1 ⊥ µ og λ 2 ≪ µ.
(2) Til er mælanlegt mengi A og h ∈ M + (X, X ) þannig að
λ(E) = λ(E ∩ A) +
Sönnun. Lítum á ν = λ + µ. Þá er ν σ-endanlegt og λ ≪ ν og µ ≪ ν. Skv. setningu
Radons og Nikodýms eru til föll f, g ∈ M + (X, X ) þannig að
∫
λ(E) =
Setjum nú A = g [−1] (0) og
58
E
∫
f dν og µ(E) =
E
∫
E\A
g dν,
h dµ
E ∈ X
λ 1 (E) = λ(E ∩ A) og λ 2 (E) = λ(E ∩ A ′ )

Þá er greinilegt að
λ = λ 1 + λ 2
KAFLI 5. ALSAMFELLD MÁL
Höfum að λ 1 ⊥ µ, því λ 1 (A ′ ) = 0 = µ(A).
Til þess að sanna að λ 2 ≪ µ, þá tökum við E ∈ X þannig að µ(E) = 0. Athugum að af
þessu leiðir
∫
0 = µ(E) =
Nú er g > 0 á E \ A, svo við fáum að
W
∫
g dν =
E
∫
g dλ +
0 = λ(E \ A) = λ(E ∩ A ′ ) = λ 2 (E)
E
g dµ
Þar með er λ 2 ≪ µ.
Af setningu Radons og Nikodýms leiðir að til er k ∈ M + (X, X ) þannig að λ 2 = µ k ,
∫
λ 2 (E) =
E
k dµ =
∫
E\A
∫
k dµ =
E
kχ A ′ dµ
Fallið h er skilgreint sem kχ A ′. [Gætum líka tekið h = k, hitt ku vera snyrtilegra.] LHK
Sundurliðunin er ótvíræð:
Gerum ráð fyrir að
λ = λ 1 + λ 2 = λ 3 + λ 4
með λ 1 ⊥µ, λ 2 ≪ µ, λ 3 ⊥µ og λ 4 ≪ µ. Finnum A, C ∈ X þannig að
(a) G.r.f. að λ sé endanlegt. Setjum
λ 1 (A) = µ(A ′ ) = 0 og λ 3 (C) = µ(C ′ ) = 0
α = λ 1 − λ 3 = λ 4 − λ 2
Málin λ 1 og λ 3 er u endanleg og því er
α + ≤ λ 1 og α − ≤ λ 3
Athugum að α + (A) = 0 og alpha − (C) = 0 og því er |α|(A ∩ C) = 0. Nú er
µ((A ∩ C) ′ ) = µ(A ′ ∪ C ′ ) = 0
Þar með er |α|⊥µ.
Nú tökum við E ∈ X með µ(E) = 0. Þar sem λ 2 ≪ µ og λ 4 ≪ µ, þá er
λ 2 (E) = λ 4 (E) = 0. Nú er α + ≤ λ 4 Eogα − ≤ λ 2 . Þar með er α + ≪ µ og α − ≪ µ.
Fyrst |α|⊥µ og |α| ≪ µ þá er |α| = 0. Þar með er
eins og sanna átti.
λ 1 = λ 3 og λ 2 = λ 4
59

KAFLI 5. ALSAMFELLD MÁL
(b) G.r.f. að λ og µ séu σ-endanleg og tökum sundurlæg mengi X n þannig að X =
⋃
Xn og µ(X n ) < +∞. Skilgreinum
λ (n) (E) = λ(E ∩ X n ) og µ (n) = µ(E ∩ X n )
Beitum (a) á þessi mál og fáum ótvíræða framsetningu
λ (n) = λ (n)
1 + λ (n)
2 , λ(n) 1 ⊥µ(n) , λ (n)
2 ≪ µ (n)
Leggjum svo saman og þá fæst ótvíræð framsetning á λ.
□
60

Kai 6
Tvírúm (nykurrúm) L p -rúma
(6.1) Skilgreining Látum F vera R eða C og V vera vigurrúm yr F. Línuleg vörpun
f : V → F nefnist línulegt felli.
(6.2) Setning Látum f vera línulegt felli á staðalrúmi (V, || · ||), þá er eftirfarandi
jafngilt:
(1) f er samfellt í j.m. á V .
(2) f er samfellt á V .
(3) f er samfellt í einhverjum punkti x ∈ V .
(4) f er samfellt í 0.
(5) Til er δ > 0 þannig að |f(x)| ≤ 1 ef ||x|| ≤ δ.
(6) Til er M > 0 þannig að
|f(x)| ≤ M||x||,
(7) f er takmarkað á einingarkúlunni {x | ||x|| ≤ 1}.
(8) f er takmarkað á einingarhvelinu {x | ||x|| = 1}.
x ∈ V
(6.3) Skilgreining og setning Mengi allra samfelldra línulegra fella á (V, || · ||) er vigurrúm
með aðgerðunum
V × V ∋ (f, g) ↦→ f + g ∈ V
F × V ∋ (c, f) ↦→ cf ∈ V
Þetta rúm nefnist tvírúm V eða nykurrúm V og er táknað með V ∗ (eða V ′ ) eða
L(V, F).
V ∗ er staðalrúm með staðli
||f|| = sup{|f(x)| | x ∈ V, ||x|| ≤ 1}
(6.4) Setning f(V, || · ||) er staðalrúm, þá er V ∗ Banach-rúm.
Munum að staðalrúm (V, || · ||) er sagt vera Banach-rúm ef rðin
gerir V að fullkomnu rðrúmi.
(x, y) ↦→ ||x − y||
61

KAFLI 6. TVÍRÚM (NYKURRÚM) L P -RÚMA
Látum (V, || · ||) vera hálfstaðalrúm. Við skilgreinum vensl á V með
Látum
Þá er N línulegt hlutrúm í V og
x ∼ y ⇔ ||x − y|| = 0
N = {x | ||x|| = 0} .
x ∼ y ⇔ x − y ∈ N
Því er
V = V/N = V/ ∼
vigurrúm. Þetta er staðalrúm með staðli
||[x]|| ∼ = ||x||
Látum nú V ∗ tákna mengi allra línulegra fella f : V → F, þannig að f|N = 0 og f er
takmarkað á V 1 = {x ∈ V | ||x|| ≤ 1}. Sérhvert slíkt felli f skilgreinir ˜f ∈ V ∗ með
˜f([x]) = f(x)
Við fáum að
|| ˜f|| = ||f||
Niðurstaðan verður að V er Banach-rúm sem er einsmóta ∗ V .
∗
Munum að við skilgreindum
L p (µ) = {f ∈ M F (X, X ) |
∫
|f| p dµ < +∞},
p ∈ [1, +∞[
X
og
L ∞ (µ) = {f ∈ M F (X, X ) | |f| er takmarkað utan einhvers núllmengis }
með hálfstaðlana
(∫
||f|| p =
X
|f| p dµ) p
, p ∈ [1, +∞[
||f|| ∞ = inf{α ≥ 0 | |f| ≤ α utan einhvers núllmengis }
Síðan skilgreinum við
N p = {f ∈ L p (µ) | ||f|| p = 0}
og að lokum
L p = L p /N p
með staðli
||[f]|| p = ||f|| p
Vitum að L p (µ) er Banach-rúm fyrir öll p ∈ [1, ∞].
Við ætlum nú að lýsa L p (µ) og lítum á það sem ∗ L p (µ) . Athugum að sérhvert ∗ g ∈ L q (µ),
1
p + 1 q = 1 skilgreinir G g ∈ L p (µ) með
∗
∫
G g (f) = fg dµ, ||G g || ≤ ||g|| q skv. Hölder
62
X

(6.5) Setning EF p ∈]1, +∞], á er vörpunin
KAFLI 6. TVÍRÚM (NYKURRÚM) L P -RÚMA
Φ p : L q (µ) → L p (µ) ∗ ,
g ↦→ G g
einsrðun, þ.e. ||g|| q = ||G g || p . Ef µ er σ-endanlegt þá gildir þetta einnig um p = 1.
Sönnun. Með því að skipta á g og g/||g|| q má gera ráð fyrir að ||g|| q = 1. Vitum að
||G g || ≤ 1. Þurfum bara að sanna að ||G g || = 1.
(1) Látum p ∈]1, ∞[. Skilgreinum
Þá er f mælanlegt og
∫
Nú er
f =
∫
|f| p dµ =
{ 0 g(x) = 0
|g(x)| q
g(x)
g(x) ≠ 0
∫
|g| pq−p dµ =
∫
||G g || ≥ |G g (f)| =
|g| q dµ
|g| 1 dµ = 1 .
(2) Ef p = ∞, þá skilgreinum við f eins og áður. Þá er ||f|| ∞ = 1 og
∫
||G g || ≥ |G g (f)| =
|g| dµ = 1
(3) G.r.f. að X sé σ-endanlegt og p = 1. Þá er q = ∞. Tökum ε > 0 og skilgreinum
A ε = {x ∈ X | 1 − ε ≤ |g(x)| ≤ 1}
Fyrst ||g||∞ = 1, þá er µ(A ε ) > 0. Við gætum haft µ(A ε ) = +∞. Fyrst X er
σ-endanlegt, þá er til B ε ⊆ A ε þannig að 0 < µ(B ε ) < +∞. Við skilgreinum
f = 1 g χ B ε
Þá er f ∈ L 1 (µ), ||f|| 1 > 0. Við höfum þá að
Þar með er
∫
||G g (f)|| =
∣
∫
fg dµ
∣ ≥ (1 − ε)
|f| dµ = (1 − ε)||f|| 1
(1 − ε) ≤ ||G g || = sup{ |G g(f)|
||f|| 1
| f ∈ L 1 (µ), ||f|| 1 ≠ 0} .
□
(6.6) Setning (Riesz-framsetning á L p (µ)) Látum p ∈ [1, ∞[, q ∈]1, ∞]. Ef p > 1
eða p = 1 og X er σ-endanlegt, þá er sérhvert stak G ∈ L p (µ) ∗ af gerðinni G g þar sem
g ∈ L q (µ).
Sönnun.
63

KAFLI 6. TVÍRÚM (NYKURRÚM) L P -RÚMA
(1) Ef setningin gildir um L R p (µ), þá gildir hún einnig um L C p (µ) = L p (µ).
Ef G ∈ L C p (µ), þá má skrifa
G(f) = G(f 1 + if 2 ) = G(f 1 ) + iG(f 2 ) = G 1 (f 1 ) + iG 2 (f 1 ) + iG 1 (f 2 ) − G 2 (f 2 )
Hér er f 1 = Rf, f 2 = Im f og G 1 (ϕ) = RG(ϕ), G 2 (ϕ) = Im G(ϕ) ef ϕ ∈ L R p (µ).
Beitum setningunni á G 1 , G 2 ∈ L R p (µ) ,
∗
∫
G 1 (ϕ) =
Að lokum fæst g = g 1 + g 2 .
Felli G ∈ L R p (µ) ∗ er sagt vera jákvætt ef
∫
ϕg 1 dµ, G 2 (ϕ) =
G(f) ≥ 0 fyrir öll f ∈ L R p (µ), f ≥ 0
ϕg 2 dµ
(6.7) Hjálparsetning Sérhvert G ∈ L R p (µ) ∗ má skrifa sem G = G + − G − , þar sem
G + , G − ∈ L R p (µ) ∗ eru jákvæð.
Sönnun. Skilgreinum
G + (f) = sup{G(ϕ) | 0 ≤ ϕ ≤ f, ϕ ∈ L R p (µ)}
Það þarf að sanna að G + sé línulegt.
Af þessu leiðir að það dugir að sanna Riesz-setninguna fyrir jákvæð felli.
(2) Gerum ráð fyrir að G ≥ 0 og að µ sé endanlegt, µ(X) < +∞. Við skilgreinum
64
λ : X → [0, ∞[, λ(E) = G(χ E )
Fyrst µ er endanlegt, þá er χ E ∈ L p (µ) fyrir öll E ∈ X svo λ er vel skilgreint.
Við þurfum að sanna að λ sé mál:
λ(∅) = G(χ ∅ ) = G(0) = 0
Fallið G er jákvætt svo λ ≥ 0. Ef E n ∈ X eru sundurlæg og E = ⋃ E n , þá er
∣∣ χ E −
∣∣ ∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣
p
n∑
χ Ej =
∣∣
j=1
Þetta segir okkur að
p
+∞∑
j=n+1
∣∣
í L p (µ) ef n → +∞. Þar með er
λ(E) = G(χ E ) =
lim
p
p
∫
=
+∞ ∑
j=n+1
χ Ej dµ =
n∑
χ Ej → χ E
j=1
n→+∞
j=1
n∑
G(χ Ej ) =
lim
+∞∑
j=n+1
n→+∞
j=1
λ∑
(E j ) =
µ(E j ) → 0, n → +∞
+∞∑
j=1
λ(E j )
□

KAFLI 6. TVÍRÚM (NYKURRÚM) L P -RÚMA
Þar með er λ mál.
Athugum að
λ(E) = G(χ E ) ≤ ||G|| ||χ E || p = ||G||µ(E) 1/p
Af þessu leiðir að λ ≪ µ. Nú gefur setning Radons og Nikodýms að til er fall
g ∈ L 1 (µ) þannnig að
Látum nú f = ∑ a j χ Ej
∫
λ(E) =∈ ! g dµ =
χ E g dµ
vera einfalt fall. Þá er
G(f) = ∑ a j G(χ Ej ) = ∑ a j λ(E j ) = ∑ a j
∫
∫
χ Ej g dµ =
fg dµ
Ef f ∈ L p (µ) og f ≥ 0, þá tökum við vaxandi runu af einföldum föllum f j ↗ f
og fáum að f j → f í L p (µ)
G(f) =
lim G(f j) =
j→+∞
∫
lim
j→+∞
∫
f j g dµ =
fg dµ
Ef f ∈ L R p (µ), þá skrifum við f = f + − f , − f + ≥ 0, f − ≥ 0. Beitum síðustu
formúlu á f og + f . Af því leiðir að
−
∫
G(f) =
Nú þarf að sanna að g ∈ L q (µ).
(a) Tökum fyrst p = 1, q = ∞. Lítum á
Athugum að
Á hinn bóginn er
fg dµ, f ∈ L p (µ)
A = {x ∈ X | g(x) > ||G||}
∫
||G|| µ(A) = ||G||
fyrir öll E ∈ X. Ef µ(A) > 0, þá er
∫
χ A dµ ≤
A
g dµ = G(χ A )
G(χ E ) ≤ ||G|| ||χ E || p = ||G||µ(E)
∫
||G|| µ(A) <
A
g dµ = G(χ A )
sem fær ekki staðist. Þar með er g ∈ L ∞ (µ) og
||g|| ∞ ≤ ||G|| .
(b) Tökum nú p ∈]1, ∞[. Lítum á mengin
og setjum
E n = {x ∈ X | |g(x)| ≤ n}
f n = χ En g q−1 65

KAFLI 6. TVÍRÚM (NYKURRÚM) L P -RÚMA
Þá er
|f n | ≤ n q−1
og þar með f n ∈ L p (µ) (því µ er endanlegt). Við fáum nú
||f n || p p =
∫
X
∫
fn p dµ =
X
∫
χ En g pq−p dµ =
= G(f n ) ≤ ||G|| ||f n || p
Af þessu leiðir að
||f n || p
p−1 ≤ ||G||
Þar með er runan (f n ) takmörkuð í L p (µ). Nú er
||f n || p p =∈ χ En g q dµ
og runan χ En g q er vaxandi og þar með er
∫
g q dµ < +∞ .
∫
χ En g q dµ =
f n g dµ
(3) Næsta skref væri að skoða σ-endanlegt mál µ . . . □
66

KAFLI 7. FÖLDUN
(7.3) Athugasemd Látum f og g vera mælanleg föll á R. Við segjum að földunin
f ∗ g sé skilgreind í x ∈ R ef fallið
er í L 1 (R) og gefum henni gildið
Við skrifum hér dy í stað dm(y).
y ↦→ f(x − y)g(y)
∫
f ∗ g (x) =
R
f(x − y)g(y) dy
(7.4) Setning Ef f ∈ L p (R), g ∈ L q (R), 1 ≤ p < ∞, 1 < q ≤ ∞, 1 p + 1 q
= 1, þá gildir:
(1) f ∗ g er skilgreint á öllu R.
(2) f ∗ g : R → C er samfellt í j.m. á R og takmarkað (f ∗ g ∈ L ∞ (R)) og
||f ∗ g|| ∞ ≤ ||f|| p ||g|| q
(3) Ef p > 1, þá gildir
lim f ∗ g(x) = 0 .
|x|→∞
Sönnun.
(1) Ójafna Hölders gefur:
(2)
∫
(∫
|f(x − y)| |g(y)| dy ≤
fyrir öll x.
Fyrst fallið
|f ∗ g(x) − f ∗ g(y)| =
) 1/p (∫
|f(x − y)| p dy
≤
=
|g(y)| 1 dy) 1/q
≤ ||f|| p ||g|| q
∫
∣ [f(x − t) − f(y − t)] g(t) dt
∣
R
(∫
1/p
|f(x − t) − f(y − t)| dt) p ||g|| q
(∫
|f(x + t) − f(y + t)| p dt) 1/p
||g|| q
= ||τ −x f − τ −y f|| p ||g|| q
R → L p ,
x ↦→ τ x f
er samfellt í j.m. á R, þá leiðir af þessu að f ∗ g er samfellt í j.m. á R.
(3) Látum p > 1. Tökum ε > 0 og veljum I =] − a, a[⊆ R, þannig að
68
||fχ I ′|| p < ε
||gχ I ′|| 1 < ε

KAFLI 7. FÖLDUN
|f ∗ g(x)| =
∫
∣ f(x − y)g(y) dy
∣
∫
∫
≤ |f(x − y)g(y)| dy +
I
f(x − y)g(y)| dy
I ′
≤ ||f(x − ·)χ I || p ||g|| q + ||f(x − ·)|| p ||gχ I ′|| q
≤ ||fχ I ′|| p ||g|| q + ||f|| p ||gχ I ′|| q
≤ ε||g|| q + ||f|| p ε = (||f|| p + ||g|| q )ε □
Ef |x| > 2a og y ∈ I, þá er x − y ∈ I ′ . Nú,
(7.5) Setning (Öfuga Hölder ójafnan) Látum (X, X , µ) vera σ-endanlegt málrúm, p ∈
]1, ∞[, q ∈]1, ∞[, 1 1 p + 1 q
= 1. Gerum ráð fyrir að f sé mælanlegt, V sé þétt hlutrúm í
L 1 (µ) og ril sé fasti M þannig að
∫
∣ fg dµ
∣ ≤ M||g|| q, g ∈ V (7.1)
Þá er f ∈ L p (µ) og ||f|| p ≤ M.
Sönnun. Látum X n vera vaxandi runu af mælanlegum mengjum þannig að ⋃ X n = X
og µ(X n ) < ∞. Setjum
E n = {x ∈ X n | |f(x)| ≤ n} og f n = χ En f
Þá er f n ∈ L p (µ).
Fyrst þurfum við að sanna að
∫
∣
f n g dµ ∣
∣ ≤ M||g|| q ∀g ∈ L q (µ) (7.2)
Látum g ∈ L q (µ) og (g j ) vera runu í V þannig að g j → g í L q (µ). Nú gefur Hölder að
∫
∣
Þar með fæst að
Nú er
∫
f n g j dµ −
∫
f n g dµ
∣ ≤ ||f n|| p ||g j − g|| q → 0
∫
f n g j dµ →
∣ ∣∣∣
∫
f n g dµ,
f n G j dµ
∣ ≤ M||g j|| q ,
svo ef við höfum markgildi báðum megin, þá fæst (7.2).
j → ∞
∀j
ef j → ∞
□
Nú segir (7.2) að línulega fellið á L q (µ)
∫
g ↦→
f n g dµ
69

KAFLI 7. FÖLDUN
sé samfellt og ha staðal ≤ M. Skv. Reisz-Fischer er þá ||f n || ≤ M. Nú er f n = χ En f og
⋃
En = X \ N þar sem N er núllmengi. Þá er
Þar með er
||f n || p ↗ ||f|| p
f ∈ L p (µ) og ||f|| p ≤ M .
(7.6) Setning Ef f ∈ L p (R), 1 ≤ p ≤ ∞ og g ∈ L 1 (R), þá er f ∗ g ∈ L p (R) og
||f ∗ g|| p ≤ ||f|| p ||g|| 1 .
Sönnun. Við höfum þegar sannað fyrir p = ∞ að f ∗g sé samfellt í j.m. á R og að ójafnan
gidli. Ef p = 1, þá leiðir beint af Tonelli:
||f ∗ g|| 1 =
∫ ∣∫
∣∣∣ f(x − y)g(y) dy
∣ dx
∫ ∫
≤ |f(x − y)g(y)| dy dx
∫ (∫
)
≤ |f(x − y)| dx |g(y)| dy
≤ ||f|| 1 ||g|| 1
Gerum ráð fyrir að p ∈]1, ∞[. Tökum fall h ∈ L q (R), þar sem 1 p + 1 q
= 1, og lítum á
∫
∫ ∫
|(f ∗ g)(x)| |h(x)| dx ≤ |f(x − y)| |g(y)| dy |h(x)| dx
∫ ∫
= |f(x − y)| |h(x)| dx |g(y)| dy
∫
≤ ||f y || p ||h|| q |g(y)| dy
∫
= ||f|| p ||h|| q |g(y)| dy = (||f|| p ||g|| 1 ) ||h|| q
Nú segir öfuga Hölder ójafnan að
f ∗ g ∈ L p (R) og ||f ∗ g|p ≤ ||f|| p ||g|| 1 .
□
7.1 Földun og deildun
Ef f ∈ C k (R), 0 ≤ k ≤ ∞ og f (j) eru takmörkuð föll fyrir öll j ∈ [0, k ] og g ∈ L 1 , þá er
f ∗ g ∈ C k (R) og
70
∫
(f ∗ g) (j) (x) = f (j) (x − y)g(y) dy = f (j) ∗ g(x)

KAFLI 7. FÖLDUN
Þetta leiðir beint af Lebesgue setningunni.
Ef f ∈ L p,loc(R) og g ∈ Cc (R), þar sem ∞ L p,loc(R) samanstendur af öllum mælanlegum
föllum á R þannig að χ K f ∈ L p (R) fyrir öll þjöppuð K (staðheildanlegt).
Þá er f ∗ g ver skilgreint fall á R með
∫
f ∗ g(x) =
∫
f(x − y)g(y) dy =
f(y)g(x − y) dy
þar sem heildað er yr stoð g sem er þjappað mengi. Við höfum að f ∗ g ∈ C ∞ (R) og
∫
(f ∗ g) (j) (x) =
f(y)g (j) (x − y) dy = f ∗ g (j) (x)
7.2 Földun og nálganir
Látum ϕ ∈ L 1 (R), ∫ ϕ dx = 1, ε > 0,
Þá er ϕ ε ∈ L 1 (R) og ∫ ϕ ε dx = 1.
Ef f ∈ L ∞ (R), þá er
∫
f ∗ ϕ ε (x) =
ϕ ε (x) = 1 ε ϕ ( x
ε
)
f(x − y) 1 ( y
) ∫
ε ϕ dy =
ε
Ef f er samfellt í x, þá fæst skv. Lebesgue að
lim f ∗ ϕ ε(X) = f(x)
ε→0
f(x − εy)ϕ(y) dy
7.2.1 Dirac-runur
(7.7) Skilgreining Runa ϕ n í L 1 (R) nefnist Dirac-runa ef ϕ n ≥ 0, ∫ ϕ n dm = 1
og um sérhvert δ > 0 gildir að
∫
R\[−δ,δ]
ϕ n dm → 0,
n → ∞
(7.8) Hjálparsetning Ef ϕ ∈ L 1 (R), ϕ ≥ 0, ∫ ϕ dm = 1 og við skilgreinum
ϕ n (x) = 1 ( ) x
ϕ
ε n ε n
þar sem ε n > 0 og ε n → 0, þá er ϕ n Dirac-runa.
71

KAFLI 7. FÖLDUN
Sönnun. Ljóst er að ϕ n ≥ 0 og ∫ ϕ n dm = 1. Tökum δ > 0, þá er
∫
R\[−δ,δ]
ϕ n dm =
=
∫−δ
−∞
+
∫
∫+∞
δ
1
ε n
ϕ
R\[−δ/ε n,δ/ε n]
( ) x
dm =
ε n
∫
−δ/ε n
−∞
+
∫+∞
δ/ε n
ϕ(x) dx
ϕ dm → 0, n → ∞ □
(7.9) Setning Ef ϕ n er Dirac-runa og f ∈ L p (µ), p ∈ [1, ∞[, þá gildir að f ∗ ϕ n → f
í L p (R).
Sönnun. Fyrst ∫ ϕ n dm = 1, þá er
Nú er ϕ n þéttifall fyrir líkindamál
∫
f ∗ ϕ n (x) = (f(x − y) − f(x))ϕ n (y) dy
∫
µ(E) =
ϕ n dm
E
Við beitum ójöfnu Jensens með þetta mál og fallið x ↦→ x , p x ≥ 0,
||f ∗ ϕ n − f|| p p =
≤
Jensen
≤
=
=
∫ ∣∫
∣∣∣ p
(f(x − y) − f(x))ϕ n (y) dy
∣ dx
∫ (∫
p
|f(x − y) − f(x)|ϕ n (y) dy)
dx
∫ ∫
|f(x − y) − f(x)| p ϕ n (y) dy dx
∫ (∫
)
|f(x − y) − f(x)| p dx ϕ n (y) dy
∫
||f y − f|| p pϕ n (y) dy
Við vitum að ||f y − f|| p → 0 ef y → 0. Látum nú ε > 0 og veljum δ > 0 þannig að
||f y − f|| p p < ε 2
ef |y| < δ
Fyrst ϕ n er Dirac-runa, þá getum við valið N þannig að
2 p ||f|| p p
Við fáum þá fyrir öll n ≥ N að
72
||f ∗ ϕ n − f|| p p
≤
∫
≤ ε 2
∫
R\[−δ,δ]
[−δ,δ]
∫
[−δ,δ]
ϕ n dm < ε 2
||f y − f|| p pϕ n (y) dy +
ϕ n dy + 2 p ||f|| p p
ef n ≥ N
∫
R\[−δ,δ]
∫
R\[−δ,δ]
||f y − f|| p pϕ n (y) dy
ϕ n (y) dy ≤ ε 2 + ε 2 = ε
□

Kai 8
Fourier-ummyndun
(8.1) Skilgreining Tökum f ∈ L 1 (R). Skilgreinum Fourier-mynd f með
∫
ˆf(ξ) = Ff(ξ) =
R
e −ixξ f(x) dx,
ξ ∈ R
(8.2) Setning (Riemann-Lebesgue) Ef f ∈ L 1 (R), þá er ˆf ∈ C(R), | ˆf(ξ)| ≤ ||f|| 1 ,
ξ ∈ R og
lim ˆf(ξ) = 0
|ξ|→+∞
Sönnun. Ójafnan er augljós. Samfelldnin leiðir beint af setningu Lebesgues um yrgnæfða
samleitni. Jafnan −1 = e gefur
−iπ
Við fáum
∫
ˆf(ξ) = −
∫
= −
∫
ˆf(ξ) = 1 2
= −
∫
e −ixξ e −iπ f(x) dx
e −i(x+ π ξ )ξ f(x) dx
e −itξ f(t − π ξ ) dt
e −ixξ (f(x) − f(x − π ξ
)) dx
Af þessu leiðir að
| ˆf(ξ)| ≤ ||f − f π || 1
ξ
Vitum að z ↦→ ||f − f a || 1 er samfellt og því fæst
||f − f π
ξ || → 0 ef |ξ| → +∞ □
(8.3) Dæmi Lítum á ϕ(x) = 1 √
2π
e − 1 2 x2 . Við höfum að
ˆϕ(ξ) =
=
∫
1
√
2π
∫
1
√
2π
R
R
= e − 1 2 ξ2 1 √
2π
∫
73
e −ixξ e − 1 2 x2 dx
e − 1 2 (x+iξ)2 e − 1 2 ξ2 dx
R
e − 1 2 (x+iξ)2 dx

KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
Höfum sannað að heildið ξ ↦→ ∫ e − 1 2 (x+iξ)2 dx er óháð ξ og jafnt √ 2π. Þar með er
ˆϕ(ξ) = e − 1 2 ξ2 .
♦
(8.4) Reiknireglur (1) Ef f ∈ L 1 (R), a ∈ R \ {0} og g(x) = f(ax), þá er
ĝ(ξ) = 1 ( )
|a| ˆf ξ
a
Þessa reglu má einnig skrifa
F{f(ax)}(ξ) = 1 ( ) ξ
|a| F{f} |a|
Með því að skipta á a og 1/a, þá fæst
{ 1
( x
) }
F
|a| f (ξ) = F{f}(aξ)
a
(2) Ef f ∈ L 1 (R), b ∈ R og g(x) = f(x − b), þá er
Þetta má einnig skrifa
ĝ(ξ) = e −ibξ ˆf(ξ)
F{f(· − b)}(ξ) = e −ibξ F{f}(ξ) .
(3) Ef f, g ∈ L 1 (R), þá er
þ.e.
̂f ∗ g(ξ) = ˆf(ξ)ĝ(ξ)
F{f ∗ g} = F{f}F{g} .
(4) Ef f, g ∈ L 1 (R), þá er ∫
Sönnun.
74
∫
fĝ dm =
(1) Þetta sést með beinum útreikningi
∫
ĝ(ξ) =
e −ixξ f(ax) dx = 1
|a|
(2) Þetta sést einnig með beinum reikningum
∫
ĝ(ξ) =
∫
e −ixξ f(x − b) dx =
(3) Þetta leiðir af setningu Fubinis og
̂f ∗ g(ξ) =
=
=
∫
ˆfg dm .
e −i(t/a)ξ f(t) dt = 1
|a| ˆf( ξ
|a| .
e −i(t+b)ξ f(t) dt = e −ibξ ˆf(ξ).
∫ (∫
)
e −ixξ f(x − y)g(y) dy dx
∫ (∫
)
e −ixξ f(x − y) dx g(y) dy
∫
e −iyξ ˆf(ξ)g(y) dy = ˆf(ξ)ĝ(ξ)

KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
(4) Af setningu Riemanns og Lebesgues leiðir að föllin ˆf og ĝ eru samfelld og takmörkuð.
Þar með eru bæði föllin fĝ og ˆfg í L 1 . Skv. Fubini er
∫
fĝ dm =
=
=
∫ ∫
f(x)
∫∫
e −ixy g(y) dy dx
e −ixy f(x)g/y) dx dy
R
∫ (∫
2 ) ∫
e −ixy f(x) dx g(y) dy =
ˆfg dm
(8.5) Dæmi Látum ϕ µ,σ vera þéttifall normlegrar dreifngar með væntigildi µ og staðalfrávik
σ,
Reiknireglur 1 og 2 gefa
ϕ µ,σ (x) = 1 √
2πσ
e − 1 2 ((x−µ)/σ)2
{ } 1
Fϕ µ,σ (ξ) = F √ e − 1 2 ((x−µ)/σ)2 (ξ)
2πσ
{ } 1
= e −iµξ F √ e − 1 2 (x/σ)2 (ξ)
2πσ
{ } 1
= e −iµξ F √ e − 1 2 x2 (σξ)
2π
= e −iµξ− 1 2 σ2 ξ 2 ♦
□
(8.6) Setning (Andhverfuformúla Fouriers) Látum f ∈ L 1 (R) og gerum ráð fyrir að
ˆf ∈ L 1 (R). Þá gildir um næstum öll x ∈ R að
f(x) = 1
2π ∈ eixξ ˆf(ξ dξ =
1
2π FF(−x)
Ef f ∈ L ∞ (R), þá gildir formúlan í öllum punktum þar sem f er samfellt.
Sönnun. Munum að ef f, ϕ ∈ L 1 (R), ϕ ≥ 0, ϕ ε (x) = 1 ε ϕ( x ε
), þá fæst að
og ef f ∈ L ∞ (R), þá fæst að
f ∗ ϕ ε → f
Veljum ϕ(x) = √ 1
2π
exp(− 1 2
). Þá er x2
f ∗ ϕ ε → f í L 1
ef f er samfellt í x
Lítum nú á földunina
ˆϕ(ξ) = e − 1 2 ξ2 og ˆϕ ε (ξ) = e − 1 2 ε2 ξ 2
∫
∫
f ∗ ϕ ε (x) = f(x − y)ϕ ε (y) dy = f(−(y − x))ϕ ε (y) dy
= 1 ∫
f(−(y − x))
2π
ˆψ ε (y) dy ψ ε(x)=exp(− 1 2 ε2 x 2 )
75

KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
Reiknireglur 1 og 2 gefa að fallið
hefur Fourier-myndina
Beitum nú reiknireglu 4,
Nú látum við ε → 0 og fáum
f ∗ ϕ ε (x) = 1 ∫
2π
f(x) = lim
ε→0
f ∗ ϕ ε (x) = 1
2π
y ↦→ f(−(y − x))
ξ ↦→ e −ixξ ˆf(−ξ)
∫
e −ixξ ˆf(−ξ)ψε (ξ) dξ
∫
e −ixξ 1
ˆf(−ξ) dξ =
2π
e ixξ f(ξ) dξ
□
(8.7) Fylgisetning Fourier-ummyndun er eintæk vörpun L 2 (R) → C 0 (R), þar sem
C 0 (R) táknar rúm allra samfelldra falla ϕ á R, þ.a.
lim
|x|→+∞
ϕ(x) = 0.
(8.8) Reiknireglur (5) Ef f ∈ L 1 (R) er deildanlegt og f ′ ∈ L 1 (R), þá er
ˆf ′ (ξ) = iξ ˆf(ξ)
F{f ′ }(ξ) = iξF{f}(ξ)
Með þrepun fæst að ef f ∈ C k (R) og f, f ′ , . . . , f (k) ∈ L 1 (R), þá er
ˆ
f (k) (ξ) = (iξ) k ˆf(ξ)
F{f (k) }(ξ) = (iξ) k F{f}(ξ)
(6) Ef f, xf ∈ L 1 (R), þá er F{f} ∈ C 1 (R) og
Sönnun.
76
F{xf(x)}(ξ) = i d dξ F{f}(ξ)
Með þrepun fáum við að ef f, x k f ∈ L 1 (R), þá er F{f} ∈ C k (R) og
(5) Við höfum að
∫
ˆf ′ (ξ) =
R
e −ixξ f ′ (x) dx =
F{x k f}(ξ) = i k
dk
dξ k F{f}(ξ)
[ ] +∞
e −ixξ f(x) − (−iξ)e
−∞
∫R
−ixξ f(x) dx = (iξ) ˆf(ξ)
(6) Þessi regla leiðir beint af setningunni um víxlun á heildi og aeiðu, því
Við fáum
F{xf(x)}(ξ) =
∂
∣∂ξ (e−ixξ f(x))
∣ = |xf(x)| ∈ L 1(R)
∫
e −ixξ xf(x) dx = i d dξ
∫
e −ixξ f(x) dx
= i d dξ F{f}(ξ) □

KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
(8.9) Athugasemd Ef P (z) = a m z m + . . . + a 1 z + a 0 , a m ≠ 0, er margliða af stigi m,
u ∈ C m (R), u, u ′ , . . . , u (m) ∈ L 1 (R), þá er
Ef við ætlum að leysa jöfnuna
̂ P (D)u(ξ) = P (iξ)û(ξ)
P (D)u = f,
f ∈ L 1 (R) ∩ C(R)
þá fæst lausn u af þessari gerð þþaa P (iξ) sé deilir í ˆf(ξ),
û(ξ) =
ˆf(ξ)
P (iξ)
Ef E ∈ L 1 (R) og Ê = 1
P (iξ), þá fæst lausn með földun
u = E ∗ f .
(8.10) Dæmi Reiknum aftur út Fourier-mynd fallsins f(x) = 1 √
2π
e − 1 2 x2 . Við sjáum
að f uppfyllir
f − (x) + xf(x) = 0
Reiknireglur 5 og 6 gefa:
Fallið ˆf uppfyllir því sömu jöfnu
iξ ˆf(ξ) + i d dξ ˆf(ξ) = 0
Því er
Nú er
og því er
ˆf(ξ) + ξ ˆf(ξ) = 0
ˆf(ξ) = Ce − 1 2 ξ2
∫
C = ˆf(0) = f(x) dx = 1
ˆf(ξ) = e − 1 2 ξ2
(8.11) Schwartz-rúmið Schwartz-rúmið S(R) samanstendur af öllum f ∈ C ∞ (X)
þannig að
sup |x j f (k) (x)| < +∞ j, k = 0, 1, 2, . . . (8.1)
x∈R
Athugum að Cc ∞ (R) ⊆ S(R) og að f (k) ∈ L p (R), p ∈]1, ∞[. Þar með liggur S(R) þétt í
L p (R) fyrir öll p ∈]1, ∞[.
Athugum að (8.1) jafngildir því að ∀j, k = 0, 1, 2, . . . er til fasti C j,k þannig að
∣
∣f (k) (x) ∣ ≤
C j,k
(1 + |x|) j 77

KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
Athugum að
ξ j
∫
dk
dξ k F{f}(ξ) = ξj
d k
∫
dξ k e−ixξ f(x) dx = (−i) j+k (iξ) j
∫
= (−i) j+k e −ixξ dj
dx j (xj f) dx
{ } d
= (−i) j+k j
F
dx j (xk f) (ξ)
Þetta segir okkur að F{f} ∈ S(R). Þar með er F gagntæk förpun á S.
(8.12) Dæmi Dæmi um föll í S(R) \ C ∞ c (R) eru
x ↦→ Ce a(x−b)2 , C ∈ C, a > 0, b ∈ R
e −ixξ x k f(x) dx
8.1 Fourier-ummyndun á L 2 (R)
Byrjum á því að taka f ∈ L 1 (R) og reikna út Fourier-mynd fallsins
f(−·),
x ↦→ f(−x),
F{f(−·)}(ξ) =
=
∫
∫
∫
∫
e −ixξ f(−x) dx = e ixξ f(−x) dx =
e −ixξ f(x) dx = F{f}(ξ)
e ixξ f(−x) dx
Földunin g = f ∗ f(−·) er í L 1 (R), því f og f(−·) eru í L 1 (R).
Ef við gefum okkur að f ∈ L 1 (R) ∩ L 2 (R), þá gefur setning 10.1.7 í JRS að g ∈ L ∞ (R),
g er samfellt í j.m. á R og g(x) → 0 ef |x| → ∞.
Við höfum að
∫
∫
Við höfum einnig að
g(0) =
f(−y)f(−y) dy =
|f(−y)| 2 dy = ||f|| 2
Nú skilgreinum við
og setjum
78
ĝ(ξ) = ˆf(ξ) · ̂f(−·)(ξ) = ˆf(ξ) ˆf(ξ) = |f(ξ)| 2
ϕ(x) = 1 √
2π
e − 1 2 x2
ϕ ε (x) = 1 ε ϕ ( x
ε
)
, ε > 0

Munum að
Fallið ϕ er jafnstætt svo
skv. andhverfuformúlunni.
Við höfum að
||f|| 2 2 = g(0) = lim
ε→0
g ∗ ϕ ε (0)
∫
= lim
ε→0
∫
= lim
ε→0
1
= lim
ε→0 2π
1
= lim
ε→0 2π
∫
1
= lim
ε→0 2π
= 1 ∫
2π
ˆϕ ε (ξ) = ˆϕ(εξ) = e − 1 2 ε2 ξ 2
g(−x)ϕ ε (x) dx
Þetta segir okkur að ˆf ∈ L 2 (R) og
g(x)ϕ ε (x) dx
∫
g(x) ˆϕ ε (x) dx
∫
ˆϕ(x) = 2πϕ(x)
KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
Dirac-runa
ϕ ε jafnstætt
andhverfuformúlan
ĝ(ξ) ˆϕ ε (ξ) dξ reikniregla 4
| ˆf(ξ)| 2 e − 1 2 ε2 ξ 2 dξ
| ˆf(ξ)| 2 dξ setningin um vaxandi samleitni
||f|| 2 = 1 √
2π
|| ˆf|| 2
(8.13) Setning (Plancherel) Ef f ∈ L 1 (R) ∩ L 2 (R), þá er ˆf ∈ L 2 (R) og
Vörpunin
||f||2 = 1 √
2π
|| ˆf|| 2 (8.2)
F : L 1 (R) ∩ L 2 (R) → L 2 (R)
hefur ótvírætt ákvarðaða útvíkkun yr í vörpun L 2 (R) → L 2 (R). Við táknum hana einnig
með F og gildi hennar í [f] ∈ L 2 (R) með F{f} eða ˆf.
Vörpunin F er gagntæk og formúla Parsevals gildir
fyrir öll f, g ∈ L 2 (R).
∫
fg dm = 1
2π
∫
ˆfĝ dm (8.3)
Sönnun. Við erum búin að sanna jöfnu (8.2). Tökum nú [f] ∈ L 2 (R), þá er til runa (f n )
í L 1 (R) ∩ L 2 (R) þannig að f n → f í L 2 (R). Við h0fum að ˆf n ∈ L 2 (R) og
||f j − f k || 2 = 1 √
2π
|| ˆf f − ˆf k || 2
79

KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
Þetta gefur að ( ˆf n ) er Cauchy-runa í L 2 (R). Táknum markgildi hennar með g og setjum
F[f] = [g] ∈ L 2 (R). Vörpunin F er vel skilgreind og eintæk á L 2 (R). Anhverfuformúlan
gefur að hún er einnig átæk.
Munum að L 2 (R) er Hilbert-rúm með innfeldi
Skautunarjafnan
∫
〈f, g〉 =
fg dm
〈f, g〉 = 1 4 (||f + g||2 − ||f − g|| 2 + i||f + ig|| 2 − i||f − ig|| 2
gefur að (8.3) leiðir beint af (8.2).
□
8.2 Fourier-ummyndun mála og hleðslna
Munum að mengi allra endanlegra hleðslna á R myndar vigurrúm yr R. Það er Banachrúm
með staðlinum
||µ|| = |µ|(R)
Táknum þetta rúm með M(R). Við skilgreinum Fourier-mynd hleðslunnar µ með
∫
ˆµ(ξ) =
Ef µ er af gerðinni µ = f dm, f ∈ L 1 (R), þá er
e −ixξ dµ(ξ)
ˆµ(ξ) = ˆf(ξ),
ξ ∈ R
(8.14) Setning Fourier-myndin ˆµ af µ ∈ M(R) er samfelld í j.m. á R og
|ˆµ(ξ)| ≤ ||µ|| .
Ef
∫
|x k | d|µ|(x) < +∞
þá er ˆµ ∈ C k (R) og
d j ∫
dξ j ˆµ(ξ) =
Sönnun. Ójafnan fæst með því að
∫
|ˆµ(ξ)| ≤
e −ixξ (−ix) j dµ(x), j ∈ [0, k ]
|e −ixξ | d|µ|(x) = ||µ||
Síðasta staðhængin leiðir um setningu Lebesgues um yrgnæfða samleitni.
80

KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
Til þess að sanna a𠈵 sé samfelld í j.m. tökum við ε > 0. Veljum fyrst A > 0 þannig að
|µ|(R \ [−A, A]) < ε 4
Ef ξ, η ∈ R, þá er
∫
|ˆµ(ξ) − ˆµ(η)| ≤
|e −ixξ − e −ixη | d|µ|(x) + 2
∫
d|µ|
R\[−A,A]
Fyrir sérhvert fall f ∈ X 1 (R) gildir að |f(ξ) − f(η)| ≤ |ξ − η| sup t |f ′ (t)| þar sem efra
mark er tekið yr öll t á milli ξ og η. Við fáum því
|ˆµ(ξ) − ˆµ(η)| ≤
∫
|ξ − η| |x| d|µ|(x) + ε 2
Nú veljum við δ > 0 þannig að
δ
∫
[−A,A]
|x| d|µ|(x) < ε 2
[−A,A]
Þá sjáum við að
ef |ξ − η| < δ, þá er |ˆµ(ξ) − ˆµ(η)| < ε .
Þar með er ˆµ samfellt í j.m. á R.
(8.15) Skilgreining Földun tveggja hleðslna er skilgreind með
∫∫
µ ∗ ν(E) = χ E (x + y) dµ(x) dν(y)
□
Við fáum að
∫∫
∫
̂µ × ν(ξ) = e −i(x+y)ξ dµ(x) dν(y) =
R 2
R 2
e −iyξ (∫
)
e −ixξ dµ(x) dν(y) = ˆµ(ξ)ˆν(ξ)
Földunin gerir M(R) að Banach-algebru.
Reglan
alhæst í
því fallið
∫
∫
fĝ dm = ˆfg dm
∫ ∫
ˆν dµ =
ˆµ dν
f, g ∈ L 1 (R)
(x, ξ) ↦→ e −ixξ 81

KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
er heildanlegt m.t.t. margfeldismálsins |µ| × |ν| og við fáum
∫
ˆν(ξ) dµ(ξ) =
=
∫ (∫
∫
) ∫ (∫
e −ixξ dν(x) dµ(ξ) =
ˆµ(x) dν(x)
)
e −ixξ dµ(ξ) dν(x)
Tökum ϕ ∈ L 1 (R) ∩ C(R) með ˆϕ ∈ L 1 (R). Þá segir andhverfuformúla Fouriers að
Það gefur
∫
ϕ(x) = 1
2π
ˆϕ(−x),
ϕ dµ = 1
2π ∈ ˆϕ(−x) dµ(x) = 1 ∫
2π
x ∈ R
ˆϕ(ξ)ˆµ(ξ) dm(ξ)
Nú viljum við ákvarða µ([a, b]) út frá ˆµ og því viljum við setja χ [a,b] í stað ϕ.
Lítum á
̂χ [a,b] (ξ) =
∫ b
a
e −ixξ dx = e−ibξ − e −iaξ
−iξ
Veljum nú ψ ∈ L 1 (R) ∩ C(R) með ∫ ψ dm = 1 og ˆψ ∈ L 1 (R) (t.d. ψ(x) = √ 1
2π
e − 1 2 ).
Setjum
x2 ψ ε (x) = 1 ( x
)
ε ψ og ϕ ε (x) = χ
ε
[a,b] ∗ ψ ε (x)
Höfum að
ϕ ε (x) → χ [a,b] (x)
í öllum punktum x ∈ R, nema a og b. Nú fáum við
og
ϕ ε (b) =
Nú setjum við
Þá er
82
=
∫
χ [a,b] (y)ψ ε (b − y) dy =
R
∫ (b−a)/ε
0
ϕ ε (a) =
=
∫ b
a
∫ 0
ψ(t) dt −→
∫ ∞
0
ψ ε (a − y) dy =
−(b−a)/ε
ψ(t) dt −→
α =
∫ ∞
0
∫ b
a
ψ ε (b − y) dy =
ψ(t) dt ef ε → 0
∫ 0
−(b−a)
∫ 0
−∞
ψ(t) dt
ψ ε (t) dt
∫ b−a
ψ(t) dt ef ε → 0
ϕ ε (x) −→ χ ]a,b[ (x) + (1 − α)χ {a} (x) + αχ {b} (x)
0
ψ ε (t) dt

Þar með er
∫
µ(]a, b[) + (1 − α)µ({a}) + αµ({b}) = lim
ε→0
1
= lim
ε→0 2π
1
= lim
ε→0 2π
KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
ϕ ε dµ
∫
∫
1
ˆϕ ε (−x) dµ(x) = lim ˆϕ ε (−ξ)ˆµ(ξ) dm(ξ)
ε→0 2π
∫ ( e
ˆψ(εξ)
ibξ − e iaξ )
ˆµ(ξ) dm(ξ)
iξ
(8.16) Setning (Andhverfuformúla Fouriers) Láum µ vera endanlega hleðslu, ψ ∈
L 1 (R) ∩ C(R) með ˆψ ∈ L 1 (R), ∫ ψ dm = 1 og setjum ψ ε (x) = 1 ε ψ( x ε ) og α = ∫ ∞
0
ψ(t) dt.
Þá gildir
∫
1
µ(]a, b[) + (1 − α)µ({a}) + αµ({b}) = lim
ε→0 2π
fyrir öll a, b ∈ R, a ≤ b.
R
( e
ˆψ(−εξ)
ibξ − e iaξ )
ˆµ(ξ) dm(ξ)
iξ
Ef fallið
ξ ↦→ ˆµ(ξ)/(1 + |ξ|)
er heildanlegt, þá eru öll einspunktsmengi µ-núllmengi og
µ([a, b]) = 1
2π
∫ ( e ibξ − e iaξ )
ˆµ(ξ) dm(ξ)
iξ
8.3 Veik samleitni
(8.17) Skilgreining Runa µ j í M(R) er sögð vera veikt samleitin eða samleitin
í veikum skilningi með markgildi µ ∈ M(R) ef
∫
∫
ϕ dµ j −→
ϕ dµ
∀ϕ ∈ C c (R)
Augljóst er að sérhver runa sem er samleitin í staðli M(R) er veikt samleitin, því
∫
∣
∫
ϕ dµ j −
∫
ϕ dµ
∣ ≤
|ϕ| d(|µ j − µ|) ≤ sup |ϕ| ||µ j − µ||
x∈R
(8.18) Setning (Samleitnisetningin fyrir líkindamál) Látum µ j vera runu af líkindamálum
á R og µ vera líkindamál. Þá gildir
µ j → µ í veikum skilningi ⇔ Fµ j (ξ) → Fµ(ξ) ∀ξ ∈ R
83

KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
8.3.1 Hagnýtingar í líkindafræði
Látum (Ω, F, P ) vera líkindarúm og X vera raungilda slembistærð. Munum að myndmálið
P X
P X (E) = P (X [−1] (E)), E ∈ B R
er Borel-líkindamál á R. Það nefnist líkindadreifing X. Fallið
∫
ϕ X (ξ) = FP X (−ξ) =
R
∫
e −ixξ dP X (x) =
er nefnt kennifall (eða hending) slembistærðarinnar X.
Af andhverfuformúlu Fouriers fáum við að
ϕ X = ϕ Y ⇔ P X = P Y
Ω
e iX(ω)ξ dP (ω)
Munum að ef X 1 , . . . , X n eru óháðar raungildar slembistærðir, þá er líkindadreing n-
víðu hendingarununnar (X 1 , . . . , X n ) margfeldismálið P 1 × · · · × P n á R n . Af því leiðir
að
P X1 +···+X n
= P X1 ∗ P X2 ∗ · · · ∗ P Xn
og því
ϕ X1 +···+X n
= ϕ X1 · ϕ X2 · · · ϕ Xn
(8.19) Setning (Meginmarkgildissetning tölfræðinnar) Látum (Ω, F, P ) vera líkindarúm,
X 1 , X 2 , X 3 , . . . vera óendanlega runu af raungildum slembistærðum sem eru innbyrðis
óháðar, eins dreifðar með væntigildi µ og dreifni σ og setjum
Z n = X 1 + · · · + X n − nµ
√ nσ
Þá stefnir líkindadreifnigin P Zn
í veikum skilningi á stöðluðu normaldreinguna
N(0, 1) ∼ 1 √
2π
e − 1 2 x2 dm(x)
Sönnun (Nokkur atriði). Skv. samfelldnisetningunni fyrir líkindamál, þá dugir að sanna
að
ϕ Zn (t) −→ F
Lítum á slembistærðirnar
{ 1
√
2π
e − 1 2 x2 }
(t) = e − 1 2 t2 , t ∈ R
Y n = X − µ √ σ
Þær hafa allar væntigildi 0 og dreifni 1. Fyrst X n eru allar einsdreifðar, þá fæst að Y n
eru einsdreifðar; setjum ν = PYn og ϕ = ϕ ν . Nú er
84
Z n = 1 √ n
(Y 1 + · · · + Y n )

og
ϕ Zn (t) =
∫
Ω
KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
∫
e iZn(ω)t dP (ω) = e i(Y 1+···+Y √n n)t/
dP (ω) = ϕ Y1 +···+Y n
(t/ √ n)
= (ϕ(t/ √ n)) n
Ω
Skv. Taylor-setningunni er †
þ.e
e z = 1 + z + 1 2 z2 + z
e ixt/√n = 1 + ixt √ n
−
∫ 1
0
1
2 x2 t 2
− x2 t 2
n n
Nú er ∫ x dν = 0 og ∫ x 2 dν = 1. Við fáum því
þ.e.
ϕ(t/ √ ∫
n) =
þar sem
e ixt/√n dµ(x) = 1 −
ψ n (t) =
∫ 1
0
1
2 x2
n
− t2 n
ϕ(t/ √ n) = 1 −
(1 − τ)(e τz − 1) dτ
∫ 1
0
∫ 1
0
(1 − τ)(e ixtτ/√n − 1) dτ
∫
R
1
2 x2
n
+ t2 n ψ n(t)
(1 − τ)(e ixtτ/√n − 1)x 2 dν(x) dτ
(∫ ( ) )
(1 − τ) e ixtτ/√n − 1 x 2 dν(x) dτ
Hér höfum við notfært okkur að ∫ x 2 dν(x) < +∞ hefur í för með sér að fallið
(x, τ) ↦→ (1 − τ)(e ixtτ/√n − 1)x 2
er heildanlegt m.t.t. ν × m á R × [0, 1], svo setning Fubinis segir okkur að við megum
skipta á röð heildanna eins og við höfum gert. Nú stefnir heildisstofninn á 0 ef n → ∞
fyrir öll t. Hann er hægt að meta með 4x sem er heildanlegt fall m.t.t. 2 µ×m á R×[0, 1].
Setning Lebesgues um yrgnæfða samleitni segir okkur því að ψ n (t) → 0 þegar n → ∞.
Við getum skrifað
Log(1 + z) = z + z 2 α(z)
þar sem α er takmarkað fall í grennd um 0 og því fæst að
n Log(ϕ(t/ √ n)) = − 1 2 t2 + tψ n (t) + β n (t)
þar sem β n (t) → 0 þegar n → ∞. Þar með fáum við að
(ϕ(t/ √ n)) n = e − 1 2 t2 +t 2 ψ n(t)+β n(t) −→ e − 1 2 t2
þegar n → 0 fyrir öll t ∈ R.
□
† 2. stigs Taylor-nálgun með leifarlið:
f(x) = f(0) + f ′ (0)x + 1 Z 1
2 f ′′ (0)x 2 + x 2 (1 − t)(f ′′ (tx) − f ′′ (0)) dt
0
85