Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
(1.50) Setning (Hjálparsetning Fatou) Ef (f n ) er runa í M + (X, X ), þá er
∫
∫
(lim inf f n) dµ ≤ lim inf
n→+∞ n→+∞
X
X
f n dµ
Sönnun. Setjum g n = inf m≥n f m . Þá er (g n ) vaxandi, lim inf
Setningin um vaxandi samleitni gefur
∫
X
∫
(lim inf f n) dµ =
n→+∞
X
lim g n dµ =
n→+∞
lim
∫
n→+∞
X
n→+∞ f n =
∫
g n dµ ≤ lim inf
lim g n og g n ≤ f n .
n→+∞
n→+∞
X
f n dµ
(1.51) Skilgreining Látum (X, X , µ) vera málrúm. Mengi N í X er sagt vera núllmengi
málsins µ ef µ(N) = 0.
Reglan
+∞ ⋃
µ(
j=1
E j ) ≤
+∞∑
j=1
µ(E j )
segir okkur að teljanleg sammengi núllmengja sé núllmengi.
Við segjum að tvö föll f og g á X séu eins µ-næstum alls staðar og táknum það
með
f = g µ-n.a.
ef til er núllmengi N í X m.t.t. µ þannig að
{x ∈ X | f(x) ≠ g(x)} ⊆ N
Ef ljóst er af samhengi hvert málið er, þá skrifum við
f = g n.a.
Ef Q(x) er fullyrðing sem sett er fram fyrir öll x ∈ S, þá segjum við að Q(x) sé sönn
µ-næstum alls staðar ef
er innnihaldið í µ-núllmengi.
{x ∈ X | Q(x) er ósönn}
(1.52) Setning Látum f ∈ M + (X, X ) og µ vera mál á X . Þá er
f = 0 n.a.
⇔
∫
X
f dµ = 0
Sönnun. Setjum E = {x ∈ X; f(x) > 0}. Þá er E ∈ X. Setjum einnig E n = {x ∈
X; f(x) > 1 n }. Þá er E n vaxandi og E = ⋃ +∞
n=1 E n. Athugum að við höfum ójöfnu
f ≥ 1 n χ E n
15