Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 4. L P -RÚM
[mynd - kúpt fall ϕ með brot í punktinum x; snertlar við graf í x, hallatala annars er
ϕ ′ −(x) og hallatala hins er ϕ ′ +(x); lína gegnum (x, ϕ(x)) með hallatölu milli ϕ ′ −(x) og
ϕ ′ +(x). ]
Ef β ∈ R og ϕ ′ −(x) ≤ β ≤ ϕ ′ +(x) þá liggur línan gegnum (x, ϕ(x)) með hallatölu β undir
gra ϕ.
(4.6) Setning (Ójafna Jensens) Látum (X, X , µ) vera líkindarúm, f ∈ M(X, X ) með
gildi í ]a, b[ og ϕ vera kúpt fall á ]a, b[. Þá er
(∫ ) ∫
ϕ f dµ ≤
X
X
ϕ ◦ f dµ
Sönnun. Setjum t = ∫ X
f dµ. Sáum í dæmi 1.9.15 að t ∈]a, b[. Tökum tölu β, þ.a.
ϕ ′ −(t) ≤ β ≤ ϕ +(t). Þá er
′
Þar með er
Nú heildum við m.t.t. µ
∫
X
ϕ(y) ≥ ϕ(t) + β(y − t), y ∈]a, b[
ϕ(f(x)) ≥ ϕ(t) + β(f(x) − t),
x ∈ X
(∫ )
ϕ ◦ f dµ ≥ ϕ(t) + β f dµ − t = ϕ(t)
X
□
Veldisvísisfallið x ↦→ e x er kúpt. Tökum nú 1 < p, q < +∞ þannig að
Vitum að
1
p + 1 q = 1
uv = exp(ln u) exp(ln v) = exp( 1 p ln up ) exp( 1 q ln vq ) = exp( 1 p ln up + 1 q ln vq )
≤
1 p exp(ln up ) + 1 q exp(ln vq ) = 1 p up + 1 q vq
(4.7) Setning (Ójafna Hölders) Ef 1 < p, q < +∞, 1 p + 1 q
er
∫
||fg|| 1 =
X
(∫
|fg| dµ ≤
X
= 1 og f, g ∈ M(X, X ), þá
) 1/p (∫
1/q
|f| p dµ |g| dµ) q = ||f|| p ||g|| q
X
Sönnun. Ef ∫ X |f|p dµ = 0, þá er f = 0 n.a. og ljóst er að ójafnan gidlir. Sama er að
segja ef ∫ X |g|q dµ = 0. Megum því gera ráð fyrir að 0 < ∫ X |f|p dµ og 0 < ∫ X
dµ. Ef
annað heilsanna er +∞, þá gildir ójafnan. Við megum því gera ráð fyrir að
|g|q
Skilgreinum
∫
0 <
X
|f| p dµ < +∞ og 0 <
F (x) = f(x)
||f|| p
,
∫
X
|g| q dµ < +∞
G(x) = g(x)
||g|| q
47