Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
(1.21) Skilgreining Við segjum að fall f : X → R sé X-mælanlegt ef
f −1 (A) ∈ X ,
∀A ∈ B R
(1.22) Reikniaðgerðir á R Við útvíkkum reikniaðgerðirnar á R þannig að víxlreglur
gildi og setjum
a + (+∞) = +∞
a + (−∞) = −∞
(+∞) + (+∞) = +∞
(−∞) + (−∞) = −∞
(+∞) + (−∞) = 0
⎧
⎪⎨ +∞
a · (+∞) = 0
⎪⎩
−∞
⎧
⎪⎨ −∞
a · (−∞) = 0
⎪⎩
+∞
(−∞) · (+∞) = −∞
(+∞)(+∞) = +∞
(−∞)(−∞) = +∞
Getum ekki skilgreint (+∞) + (−∞).
a ∈ R
a ∈ R
a > 0
a = 0
a < 0
a > 0
a = 0
a < 0
(1.23) Setning B R
= A σ , þar sem A ⊂ P(R) er eitt mengjanna:
(i) A = {]α, +∞]; α ∈ R}
(ii) A = {[α, +∞]; α ∈ R}
(iii) A = {[−∞, α[; α ∈ R}
(iv) A = {[−∞, α]; α ∈ R}
(v) A = {]α, β[; α, β ∈ R, α ≤ β}
(vi) A = {[α, β]; α, β ∈ R, α ≤ β}
(1.24) Setning Fallið f : X → R er mælanlegt ef og aðeins ef fallið g : X → R sem
skilgreint er með
g(x) =
{
f(x), ef f(x) ∈ R ,
0 , ef f(x) ∈ {+∞, −∞},
og mengin f [−1] ({−∞}) og f [−1] ({+∞}) eru mælanleg.
Sönnun. ⇒: G.r.f. að f sé mælanlegt, þá eru öll mengi af gerðinni
í X og þar með er
{x ∈ X; f(x) > n} = f [−1] (]n, +∞])
( +∞
)
⋂
f [−1] ({+∞}) = f [−1] ]n, +∞] =
+∞ ⋂
n=1
n=1
f [−1] (]n, +∞]) ∈ X
5