Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 4. L P -RÚM
Þá er
Ójafnan
gefur
∫
Þessi ójafna jafngildir
og þar með er
∫
X
X
F G dµ ≤ 1 p
(4.8) Setning (Ójafna Minkovskis)
|F | p dµ = 1,
∫
∫
∫
X
∫
X
uv ≤ 1 p up + 1 q vq
X
F p dµ + 1 q
X
∫
X
|fg|
||f|| p ||g|| q
dµ ≤ 1
|fg| dµ ≤ ||f|| p ||g|| q
|G| q dµ = 1
G q dµ = 1 p + 1 q = 1
□
Sönnun. Við athugum að
1
p + 1 q
||f + g|| p ≤ ||f|| p + ||g|| p
= 1 ⇔ p + q = pq ⇔ pq − q = p ⇔ pq − p = q ⇔ p − p/q = 1
Við fáum því með ójöfnu Hölders
(||f + g|| p ) p =
≤
≤
∫
∫
|f + g| p dµ = |f + g| |f + g| p−1 dµ
∫X
∫
∫
(|f| + |g|)|f + g| p−1 dµ = |f| |f + g| p−1 dµ + |g| |f + g| p−1 dµ
(∫
) 1/p (∫
|f| p dµ
1/q (∫
|f + g| dµ) pq−q +
= (||f|| p + ||g|| p )||f + g|| p/q
p
Af þessu leiðir að
||f + g|| p−p/q
p ≤ ||f|| p + ||g|| p
Þar sem p − p/q = 1, þá gildir ójafnan.
) 1/p (∫
|g| p dµ
(4.9) Skilgreining Látum V vera vigurrúm yr C. Hálfstaðall (e. seminorm) á
V er fall
|| · || : V → R
sem uppfyllir
(i) ||x|| ≥ 0, x ∈ V
48
(ii) ||cx|| = |c| ||x||, c ∈ C, x ∈ V
(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, x, y ∈ V
Ef að auki gildir:
) 1/q
|f + g| pq−q dµ
□