Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

Kai 3
Margfeldi málrúma
Tilgangurinn er að skilgreina margfeldismálrúm (X × Y, X ∗ × Y, π) tveggja málrúma
(X, X , µ) og (Y, Y, ν), þannig að
og
∫
X×Y
∫
F (x, y) dπ =
X
π(E × F ) = µ(E)ν(F ),
⎛
∫
⎝
með eðlilegum forsendum á F.
Y
⎞
∫
F (x, y) dν(y) ⎠ dµ(x) =
E ∈ X , F ∈ Y
Y
⎛
∫
⎝
X
⎞
F (x, y) dµ(x) ⎠ dν(y)
3.1 Margfeldi mengjaalgebra
(3.1) Skilgreining Látum X vera mengjaalgebru á X og Y vera mengjaalgebru á Y.
Við látum X a ×Y vera minnstu mengjaalgebruna á X ×Y sem inniheldur öll mengi E ×F
þar sem E ∈ X og F ∈ Y.
(3.2) Hjálparsetning
⎧
⎫
X × a ⎨ m⋃
⎬
Y = E
⎩ j × F j | E j ∈ X , F j ∈ Y, j = 1, . . . , m, m ∈ N
⎭
j=1
Sönnun. Þar sem öll E j × F j eru í X a × Y og X a × Y er mengjaalgebra, þá er ljóst að
hægri hliðin, sem við táknum með Z, er innihaldin í X a × Y. Það dugir því að sanna að
Z sé mengjaalgebra.
(i) ∅ = ∅ × ∅ ∈ Z
(ii) Ef A = ⋃ m
A ∩ B =
j=1 E j × F j og B = ⋃ n
k=1 G k × H k eru í Z, þá er
=
⎛
m⋃
⎝
m⋃
j=1
j=1 k=1
E j × F j
⎞
⎠ ∩
(
⋃ n
)
G k × H k =
k=1
n⋃
(E j ∩ G k ) × (F j ∩ H k ) ∈ Z
33
m⋃
j=1 k=1
n⋃
(E j × F j ) ∩ (G k × H k )