Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 6. TVÍRÚM (NYKURRÚM) L P -RÚMA
Látum (V, || · ||) vera hálfstaðalrúm. Við skilgreinum vensl á V með
Látum
Þá er N línulegt hlutrúm í V og
x ∼ y ⇔ ||x − y|| = 0
N = {x | ||x|| = 0} .
x ∼ y ⇔ x − y ∈ N
Því er
V = V/N = V/ ∼
vigurrúm. Þetta er staðalrúm með staðli
||[x]|| ∼ = ||x||
Látum nú V ∗ tákna mengi allra línulegra fella f : V → F, þannig að f|N = 0 og f er
takmarkað á V 1 = {x ∈ V | ||x|| ≤ 1}. Sérhvert slíkt felli f skilgreinir ˜f ∈ V ∗ með
˜f([x]) = f(x)
Við fáum að
|| ˜f|| = ||f||
Niðurstaðan verður að V er Banach-rúm sem er einsmóta ∗ V .
∗
Munum að við skilgreindum
L p (µ) = {f ∈ M F (X, X ) |
∫
|f| p dµ < +∞},
p ∈ [1, +∞[
X
og
L ∞ (µ) = {f ∈ M F (X, X ) | |f| er takmarkað utan einhvers núllmengis }
með hálfstaðlana
(∫
||f|| p =
X
|f| p dµ) p
, p ∈ [1, +∞[
||f|| ∞ = inf{α ≥ 0 | |f| ≤ α utan einhvers núllmengis }
Síðan skilgreinum við
N p = {f ∈ L p (µ) | ||f|| p = 0}
og að lokum
L p = L p /N p
með staðli
||[f]|| p = ||f|| p
Vitum að L p (µ) er Banach-rúm fyrir öll p ∈ [1, ∞].
Við ætlum nú að lýsa L p (µ) og lítum á það sem ∗ L p (µ) . Athugum að sérhvert ∗ g ∈ L q (µ),
1
p + 1 q = 1 skilgreinir G g ∈ L p (µ) með
∗
∫
G g (f) = fg dµ, ||G g || ≤ ||g|| q skv. Hölder
62
X