Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 2. LEBESGUE-MÁLIÐ Á R
2.2 Fullkomin málrúm
(2.13) Skilgreining Málrúmið (X, X , µ) er sagt vera fullkomið ef sérhvert hlutmengi
í núllmengi er mælanlegt (og þar með einnig núllmengi).
Munum að (X, A ∗ , µ ∗ | A ∗) er fullkomið skv. Carathéodory og þar með er (R, M, m) fullkomið.
(2.14) Setning Gerum ráð fyrir að (X, X , µ) sé málrúm. Skilgreinum X ′ ⊆ P(X) og
µ ′ : X ′ → [0, +∞], þannig að
og
Þá gildir:
X ′ = {E ∪ Z | E ∈ X , Z er hlutmengi í µ-núllmengi}
µ ′ (E ∪ Z) = µ(E) .
(1) X ′ er σ-algebra á X og X ⊆ X ′
(2) µ er mál á X ′ sem útvíkkar µ
(3) (X, X , µ ′ ) er fullkomið
(4) Ef f : X → R er X ′ -mælanlegt, þá er til X -mælanlegt fall g : X → R þannig að
f = g µ-n.a.
(2.15) Fylgisetning M = B ′ R og µ′ = µ ∗ | M .
Lebesgue-málið er hliðrunaróháð
l(E + a) = l(E)
∀a ∈ R
Þetta er auðséð fyrir bil og þessi eiginleiki erst á utanmálið l ∗ .
Eins gildir að:
l(bE) = |b|l(E)
Af þessu tvennu leiða tvær reglur:
∫
R
∫
f(x + a) dx =
∫
|b|
R
R
f(x) dx,
∫
f(bx) dx =
R
f(x) dx
f ∈ L(m)
29