Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

Kai 4
L p -rúm
(4.1) Skilgreining Látum 1 ≤ p ≤ +∞, (X, X , µ) vera málrúm og µ(X) > 0. Látum
f ∈ M(X, X ). Við skilgreinum p-staðalinn
(∫
||f|| p = ||f|| p,µ =
X
|f| p dµ) 1/p
, 1 ≤ p < +∞
||f|| ∞ = ||f|| ∞,µ = inf{α ∈ [0, +∞]; |f| ≤ α µ −n.a.}
(4.2) Skilgreining Fallið f ∈ M(X, X )ersagtvera takmarkað að mestu (m.t.t.
µ) ef til er 0 < α < +∞ þannig að
|f| ≤ α µ −n.a.
(4.3) Setning EF f er takmarkað að mestu, þá er
Sönnun. Athugum að
er núllmengi. Þá er N = +∞ ⋃
(4.4) Athugasemd
|f| < ||f|| ∞
µ − n.a.
N n = {x ∈ X | |f(x)| ≥ ||f|| ∞ + 1 n }
n=1
N n einnig núllmengi og ef x ∈ N, þá er |f(x)| ≤ ||f|| ∞ . □
f = 0 n.a. ⇒ ||f|| p = 0 ∀p ∈ [1, +∞]
Ef til er p ∈ [1, +∞], þannig að ||f|| p = 0, þá er f = 0 n.a.
4.1 Kúpt föll og ójafna Jensens
(4.5) Skilgreining Látum −∞ ≤ a < b ≤ +∞. Fall ϕ : a, b[→ R er sagt vera kúpt
er línustrikið milli sérhverra tveggja punkta (x, ϕ(x)) og (y, ϕ(y)) á gra þess er yr
granu,
ϕ((1 − t)x + ty) ≤ (1 − t)ϕ(x) + tϕ(y), t ∈ [0, 1] (4.1)
[mynd - kúpt fall, x og y á láréttum ás og z á milli þeirra; línustrik milli ϕ(x) og ϕ(y)
og punkturinn á línustrikinu yr z (sem er náttúrlega yr ϕ(z)) ]
45