Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

Þar með er
∫
µ(]a, b[) + (1 − α)µ({a}) + αµ({b}) = lim
ε→0
1
= lim
ε→0 2π
1
= lim
ε→0 2π
KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
ϕ ε dµ
∫
∫
1
ˆϕ ε (−x) dµ(x) = lim ˆϕ ε (−ξ)ˆµ(ξ) dm(ξ)
ε→0 2π
∫ ( e
ˆψ(εξ)
ibξ − e iaξ )
ˆµ(ξ) dm(ξ)
iξ
(8.16) Setning (Andhverfuformúla Fouriers) Láum µ vera endanlega hleðslu, ψ ∈
L 1 (R) ∩ C(R) með ˆψ ∈ L 1 (R), ∫ ψ dm = 1 og setjum ψ ε (x) = 1 ε ψ( x ε ) og α = ∫ ∞
0
ψ(t) dt.
Þá gildir
∫
1
µ(]a, b[) + (1 − α)µ({a}) + αµ({b}) = lim
ε→0 2π
fyrir öll a, b ∈ R, a ≤ b.
R
( e
ˆψ(−εξ)
ibξ − e iaξ )
ˆµ(ξ) dm(ξ)
iξ
Ef fallið
ξ ↦→ ˆµ(ξ)/(1 + |ξ|)
er heildanlegt, þá eru öll einspunktsmengi µ-núllmengi og
µ([a, b]) = 1
2π
∫ ( e ibξ − e iaξ )
ˆµ(ξ) dm(ξ)
iξ
8.3 Veik samleitni
(8.17) Skilgreining Runa µ j í M(R) er sögð vera veikt samleitin eða samleitin
í veikum skilningi með markgildi µ ∈ M(R) ef
∫
∫
ϕ dµ j −→
ϕ dµ
∀ϕ ∈ C c (R)
Augljóst er að sérhver runa sem er samleitin í staðli M(R) er veikt samleitin, því
∫
∣
∫
ϕ dµ j −
∫
ϕ dµ
∣ ≤
|ϕ| d(|µ j − µ|) ≤ sup |ϕ| ||µ j − µ||
x∈R
(8.18) Setning (Samleitnisetningin fyrir líkindamál) Látum µ j vera runu af líkindamálum
á R og µ vera líkindamál. Þá gildir
µ j → µ í veikum skilningi ⇔ Fµ j (ξ) → Fµ(ξ) ∀ξ ∈ R
83