Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 5. ALSAMFELLD MÁL
(5.14) Setning (Radon og Nikodým) Ef µ er σ-endanlegt oog λ ≪ µ, þá er til f ∈
M + (X, X ) þannig að λ = µ f , þ.e.a.s.
∫
λ(E) =
E
f dµ,
E ∈ X
Fallið f nefnist Radon-Nikodým afleiða λ m.t.t. µ og er táknuð dλ
dµ .
Sönnun. G.r.f. að λ og µ séu endanleg. Fyrir sérhvert c > 0 látum við (P c , N c ) vera
Hahn-sundurliðun hleðlsunnar λ − cµ. Skilgreinum
og
Af þessu leiðir að
og þar með
k−1
⋃
A 1 = N c , A k = N kc \ N jc = N kc ∩ P 1·c ∩ P 2·c ∩ · · · ∩ P (k−1)c
j=1
( +∞
) ′ (
⋃
+∞
) ′
⋃
B = A k = N kc =
k=1
k=1
(λ − kcµ)(B) ≥ 0 ∀k
λ(B) − kcµ(B) ≥ 0
∀k
+∞ ⋂
P kc
k=1
og því er µ(B) = 0. Fyrst λ ≪ µ þá gildir einnig að λ(B) = 0.
Við skilgreinum fallið
g c =
+∞∑
(k − 1)cχ Ak
k=1
Tökum nú mengi E ∈ X. Um öll k = 1, 2, 3, . . . gildir að
Þetta gefur tvær ójöfnur:
E ∩ A k ⊆ N kc ∩ P (k−1)c
(λ − kcµ)(E ∩ A k ) ≤ 0 og (λ − (k − 1)cµ(E ∩ A k ) ≥ 0
Setjum þetta tvennt saman í
(k − 1)cµ(E ∩ A k ) ≤ λ(E ∩ A k ) ≤ kcµ(E ∩ A k )
Nú er E = (E ∩ B) ∪ (E ∩ ⋃ +∞
k=1 A k), B er núllmegni og mengin A k eru sundurlæg. Þar
með er
∫
E
g c dµ =
≤
≤
=
+∞∑
k=1
+∞∑
k=1
+∞∑
k=1
∫
E
(k − 1)c µ(E ∩ A k )
λ(E ∩ A k ) = λ
(
∫
kcµ(E ∩ A k ) =
g c dµ + c µ(E)
E ∩
E
+∞ ⋃
k=1
g c dµ + c
A k
)
= λ(E \ B) = λ(E)
+∞∑
k=1
µ(E ∩ A k )
57