Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
Sönnun. Ef f ∈ M R (X, X ), þá er |f| = f + + f og þar með er ljóst að − f er heildanlegt
ef og aðeins ef |f| er heildanlegt og
∫
∣
f dµ
∣ =
=
∫ ∫
∣∫
∣∫
∣ f + dµ − f − ∣∣∣
dµ
∣ ≤ f + ∣∣∣
dµ
∣ +
∫
∫
(f + + f − ) dµ = |f| dµ
Ef f ∈ M C (X, X ), þá athugum við að
∫
f − dµ
∣ =
| Re f| ≤ |f|, | Im f| ≤ |f|, |f| ≤ | Re f| + | Im f|
Af þessum ójöfnum fæst að f er heildanlegt þþaa |f| sé heildanlegt.
Veljum α þannig að |α| = 1 og
Þá fæst
∫
∣
f dµ
∣ =
=
∫
∫
∫
∣
∫
f dµ
∣ = α
∫
αf dµ =
Re(αf) dµ ≤
f dµ
∫
Re(αf) dµ + i
∫
∫
|αf| dµ =
Im(αf) dµ
|f| dµ
∫
f + dµ +
f − dµ
Svindluðum hér aðeins: áttum að sanna á undan þessu að L R (µ) og L C (µ) séu vigurrúm
yr R og C.
□
(1.55) Setning (Setning Lebesgue um yrgnæfða samleitni) Látum (f n ) vera runu sem
stefnir n.a. á mælanlega fallið f og gerum ráð fyrir að til sé g ∈ L R (µ), g ≥ 0, þannig að
Þá er f ∈ L(µ) og
|f n | ≤ g n.a. frir öll n = 1, 2, 3, . . .
lim
∫
n→+∞
X
∫
f n dµ =
X
f dµ
Sönnun. Vitum að teljanlegt sammengi af núllmengjum er núllmengi. Það gefur að við
getum breytt skilgreiningu á f n og f þ.a. f n → f í sérhverjum punkti og að |f n | ≤ g á
öllu X. Það gefur að f er heildanlegt. Ef f n eru tvinngild föll, þá má beita setningunni
á raun- og þverhluta, ef geð er að hún gildir um raungild föll. Við megum því gera ráð
fyrir að f n séu raungild föll.
Við höfum að g + f n ≥ 0. Fatou gefur:
∫
∫
g dµ +
og þar með
f dµ =
=
∫
∫
(g + f) dµ =
∫
∫
g dµ + lim inf
n→+∞
∫
∫
lim inf (g + f n) dµ ≤ lim inf
n→+∞ n→+∞
f n dµ
∫
f dµ ≤ lim inf
n→+∞
(g + f n ) dµ
f n dµ (1.6)
17