Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
(1.43) Athugasemd
(i) Í skilgreiningunni á heildi má takmarka sig við einföld föll sem taka gildi í R. Ef
ϕ er einfalt, ϕ ≤ f og segjum að a n = +∞, þá er
ϕ =
n∑
n−1
∑
a j χ Ej = a j χ Ej + (+∞)χ En = ψ + (+∞)χ En
j=1
j=1
Ef við setjum ϕ k = ψ + kχ En : X → R, þá fást einföld raungild föll ϕ k ↗ ϕ
(ii) Ef f, g ∈ M + (X, X ), f ≤ g, þá er
∫
∫
X
X
∫
ϕ k dµ ↗
X
∫
f dµ ≤
X
ϕ dµ
g dµ
(1.44) Hjálparsetning Ef ϕ er einfalt fall í M + (X, X ) og
ϕ =
þar sem F 1 , . . . , F m eru sundurlæg, þá er
∫
ϕ dµ =
X
m∑
b k χ Fk
k=1
m∑
b k µ(F k )
k=1
(1.45) Setning Ef f, g ∈ M + (X, X ) og c ∈ R + = [0, +∞[, þá
og
f + g ∈ M + (X, X ) og cf ∈ M + (X, X )
∫
X
∫
(f + g) dµ =
∫
X
X
∫
cf dµ = c
∫
f dµ +
(1.46) Setning (Setningin um vaxandi samleitni) Ef (f n ) er vaxandi runa í M + (X, X ),
þá er
Sönnun. Táknum f =
12
lim
∫
n→+∞
X
∫
f n dµ =
X
X
f dµ
X
g dµ
( lim
n→+∞ f n) dµ
lim f n ∈ M + (X, X ). Ljóst er að f n ≤ f fyrir öll x og því er
n→+∞
lim
∫
n→+∞
X
∫
f n dµ ≤
X
f dµ