Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
Athugum að
ξ j
∫
dk
dξ k F{f}(ξ) = ξj
d k
∫
dξ k e−ixξ f(x) dx = (−i) j+k (iξ) j
∫
= (−i) j+k e −ixξ dj
dx j (xj f) dx
{ } d
= (−i) j+k j
F
dx j (xk f) (ξ)
Þetta segir okkur að F{f} ∈ S(R). Þar með er F gagntæk förpun á S.
(8.12) Dæmi Dæmi um föll í S(R) \ C ∞ c (R) eru
x ↦→ Ce a(x−b)2 , C ∈ C, a > 0, b ∈ R
e −ixξ x k f(x) dx
8.1 Fourier-ummyndun á L 2 (R)
Byrjum á því að taka f ∈ L 1 (R) og reikna út Fourier-mynd fallsins
f(−·),
x ↦→ f(−x),
F{f(−·)}(ξ) =
=
∫
∫
∫
∫
e −ixξ f(−x) dx = e ixξ f(−x) dx =
e −ixξ f(x) dx = F{f}(ξ)
e ixξ f(−x) dx
Földunin g = f ∗ f(−·) er í L 1 (R), því f og f(−·) eru í L 1 (R).
Ef við gefum okkur að f ∈ L 1 (R) ∩ L 2 (R), þá gefur setning 10.1.7 í JRS að g ∈ L ∞ (R),
g er samfellt í j.m. á R og g(x) → 0 ef |x| → ∞.
Við höfum að
∫
∫
Við höfum einnig að
g(0) =
f(−y)f(−y) dy =
|f(−y)| 2 dy = ||f|| 2
Nú skilgreinum við
og setjum
78
ĝ(ξ) = ˆf(ξ) · ̂f(−·)(ξ) = ˆf(ξ) ˆf(ξ) = |f(ξ)| 2
ϕ(x) = 1 √
2π
e − 1 2 x2
ϕ ε (x) = 1 ε ϕ ( x
ε
)
, ε > 0