Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 3. MARGFELDI MÁLRÚMA
Með þrepun fæst að
m⋂
A j ∈ Z
j=1
(iii) Ef A = ⋃ m
j=1 E j × F j ∈ Z, þá er
j=1
j=1
ef A j ∈ Z, j = 1, . . . , m
m⋂
m⋂
A ′ = (E j × F j ) ′ = (E j ′ × F j ) ∪ (E j ′ × F j) ′ ∪ (E j × F j) ′ ∈ Z
Þar með er Z mengjaalgebra.
(3.3) Athugasemd Athugum að
(A × B) ∪ (C × D) = [(A \ C) × B] ∪ [(A ∩ C) × (B ∪ D)] ∪ [(C \ A) × D]
Mengin hægra megin eru sundurlæg.
□
Með þrepasönnun má alhæfa þessa formúlu:
(3.4) Hjálparsetning
⎧
⎫
X ×Y a ⎨ m⋃
⎬
= E j × F j | E j ∈ X , F j ∈ Y, j = 1, . . . , m, m ∈ N, E j × F j eru sundurlæg
⎩
⎭
j=1
Sönnun. Æng.
(3.5) Skilgreining Látum X og Y vera mengjaalgebrur á X og Y og látum
X σ × Y = (X a × Y) σ
tákna minnstu σ-algebruna í P(X × Y ) sem inniheldur X a × Y.
34
□