Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

líkindadreifing slembistærðarinnar X.
Heildið
∫
E[X] =
∫
X(ω) dP (ω) =
KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
∫
X dP =
x dP X (x)
Ω
Ω
R
nefnist væntigildi slembistærðarinnar X. Ef X ≥ 0, þá er væntigildið alltaf til sem
stak í [0, +∞]. Ef X er raungild slembistærð, þá þarf að gera ráð fyrir að X sé heildanleg.
(1.61) Dæmi (Líkindadreingar)
(i) Látum X : Ω → R vera fastafall, segjum X(ω) = a ∈ R. Athugum að
X [−1] (A) =
þar sem A ⊆ R. Af þessu leiðir að
{
∅ a ∉ A
Ω
P X (A) = P (X [−1] (A)) =
Þetta er Dirac-málið í punktinum a
δ a (A) =
Það er vel skilgreint á P(R).
(ii) Látum X : Ω → R taka tvö gildi a og b. Ef
a ∈ A
{
1 ef a ∈ A
{
1 ef a ∈ A
0 ef a ∉ A
0 ef a ∉ A
A := P [−1] ({a}) og P (A) = p
þá er
A ′ = Ω \ A = P [−1] ({b})
Við fáum síðan
og P (A ′ ) = 1 − p
sem við getum skrifað
P X = pδ a + (1 − p)δ b
P X (E) = pδ a (E) + (1 − p)δ b (E),
E ∈ B R
(iii) Ef X tekur endanlega mörg gildi a 1 , . . . , a m , þá setjum við
a j := X [−1] ({a j }) og p j = P (A j ), j ∈ [1, m]
Fáum að
P X (E) = p 1 δ a1 (E) + · · · + p m δ am (E)
(iv) Við segjum að X lúti Poisson-dreingu ef
P X (E) =
+∞∑
j=1
p j δ j (E),
p j = λj
j! e−λ 21