Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 7. FÖLDUN
sé samfellt og ha staðal ≤ M. Skv. Reisz-Fischer er þá ||f n || ≤ M. Nú er f n = χ En f og
⋃
En = X \ N þar sem N er núllmengi. Þá er
Þar með er
||f n || p ↗ ||f|| p
f ∈ L p (µ) og ||f|| p ≤ M .
(7.6) Setning Ef f ∈ L p (R), 1 ≤ p ≤ ∞ og g ∈ L 1 (R), þá er f ∗ g ∈ L p (R) og
||f ∗ g|| p ≤ ||f|| p ||g|| 1 .
Sönnun. Við höfum þegar sannað fyrir p = ∞ að f ∗g sé samfellt í j.m. á R og að ójafnan
gidli. Ef p = 1, þá leiðir beint af Tonelli:
||f ∗ g|| 1 =
∫ ∣∫
∣∣∣ f(x − y)g(y) dy
∣ dx
∫ ∫
≤ |f(x − y)g(y)| dy dx
∫ (∫
)
≤ |f(x − y)| dx |g(y)| dy
≤ ||f|| 1 ||g|| 1
Gerum ráð fyrir að p ∈]1, ∞[. Tökum fall h ∈ L q (R), þar sem 1 p + 1 q
= 1, og lítum á
∫
∫ ∫
|(f ∗ g)(x)| |h(x)| dx ≤ |f(x − y)| |g(y)| dy |h(x)| dx
∫ ∫
= |f(x − y)| |h(x)| dx |g(y)| dy
∫
≤ ||f y || p ||h|| q |g(y)| dy
∫
= ||f|| p ||h|| q |g(y)| dy = (||f|| p ||g|| 1 ) ||h|| q
Nú segir öfuga Hölder ójafnan að
f ∗ g ∈ L p (R) og ||f ∗ g|p ≤ ||f|| p ||g|| 1 .
□
7.1 Földun og deildun
Ef f ∈ C k (R), 0 ≤ k ≤ ∞ og f (j) eru takmörkuð föll fyrir öll j ∈ [0, k ] og g ∈ L 1 , þá er
f ∗ g ∈ C k (R) og
70
∫
(f ∗ g) (j) (x) = f (j) (x − y)g(y) dy = f (j) ∗ g(x)