Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 2. LEBESGUE-MÁLIÐ Á R
2.3 Borel-algebran og Lebesgue-algebran
(2.16) Valfrumsendan Um sérhvert mengi X og sérhvert A ⊆ P(X), A ≠ ∅, ∅ ∉ A,
gildir að til er fall f : A → X, þannig að f(A) ∈ A fyrir öll A ∈ A.
(2.17) Dæmi (Dæmi Vitalis um mengi E ⊆ R sem er ekki Lebesgue-mælanlegt) Skilgreinum
vensl ∼ á R með
x ∼ y ⇔ x − y ∈ Q
Þetta eru jafngildisvensl. Látum [x] tákna jafngildisokk punktsins x ∈ R.
Látum E ⊆]0, 1[ vera mengi sem inniheldur nákvæmlega einn punkt úr hverjum jafngildisokki.
Tilvist E er tryggð með valfrumsendunni. Látum nú A samanstanda af öllum
sniðmengjum [x]∩]0, 1[
A = {[x]∩ ]0, 1[ | x ∈ R} ⊆ P(R)
Nú er til vörpun f : A →]0, 1[ þannig að f(A) ∈ A. Jafngildisokkarnir eru sundurlægir
svo f er eintæk,
E = f(A)
Nú viljum við sýna að S sé ekki mælanlegt. Ef E væri mælanlegt, E ∈ M, þá er
E + r ∈ M fyrir öll r ∈ Q, því M er hliðrunaróháð. Þar með er einnig
mælanlegt. Við höfum að
S =
⋃
r∈Q∩]−1,1[
(E + r)
]0, 1[ ⊆ S ⊆ ] − 1, 2[
Tilaðsannaþetta,tökumvið x ∈]0, 1[.Þáertil y ∈ E þannigað y = x+r,þáer x ∈ E+r
þar sem r ∈ ] − 1, 1[. Seinni ójafnan er augljós. Af þessu leiðir að 1 ≤ m(S) ≤ 3. En,
mengin E + r, r ∈ Q∩ ] − 1, 1[ eru sundurlæg, svo
m(S) =
∑
r∈Q∩ ]−1,1[
m(E + r) =
∑
r∈Q∩ ]−1,1[
Af þessu leiðir að m(E) = 0 og þar með er m(S) = 0. Mótsögn.
m(E) ≤ 3
(2.18) Setning Látum A vera Lebesgue-mælanlegt mengi. Þá er A núllmengi þþaa
öll hlutmengi A eru mælanleg.
(2.19) Setning Borel-algebran á R er samstétta R,
B R ≈ R,
en Lebesgue-algebran á R er samstétta veldismengi R,
♦
30
M R ≈ P(R) .