Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
(1.47) Setning Ef (f n ) er minnkandi runa í M + (X, X ) og ∫ X
f 1 dµ < +∞, þá er
lim
∫
n→+∞
X
∫
f n dµ =
X
( lim
n→+∞ f 1) dµ
Sönnun. g n = f 1 − f n er vaxandi. Beitum setningu um vaxandi samleitni á g n
Þetta jafngildir
∫
X
f 1 dµ −
og þar með er
lim
n→+∞
X
lim
∫
n→+∞
X
∫
∫
f n dµ =
∫
(f 1 − f n ) dµ =
lim
X
∫
n→+∞
X
X
lim (f 1 − f n ) dµ
n→+∞
∫
(f 1 − lim f n) dµ =
n→+∞
∫
f n dµ =
X
X
( lim
n→+∞ f n) dµ
(1.48) Fylgisetning Ef (f n ) er runa í M + (X, X ), þá er
+∞∑
∫
n=1
X
∫
f n dµ =
X
+∞∑
n=1
f n dµ
∫
f 1 dµ −
X
( lim
n→+∞ f n) dµ
(1.49) Skilgreining (Talningarmálið á N) Látum X = N ∗ , X = P(N ∗ )og µ =talningarmálið:
µ(E) = fjöldi staka í E
Ef f : N ∗ → R + , þá er f ∈ M + (X, X ) og
Þar með er
∫
N ∗ f dµ =
+∞∑
n=1
∫
f(n)
f =
+∞∑
n=1
N ∗ χ {n} dµ =
f(n)χ {n}
+∞∑
n=1
f(n)µ({n}) =
Tökum nú runu af föllum (f n ) í M(N ∗ , P(N ∗ )). Þá gefur fylgisetningin
Ef við skrifum f n sem runur
+∞∑
+∞∑
n=1 m=1
f n (m) =
+∞∑
+∞∑
m=1 n=1
f n (m) = a n,m
f n (m)
+∞∑
n=1
f(n)
þá er þetta ekkert annað en tvöföld summa af jákvæðum tölum sem uppfyllir
14
+∞∑
+∞∑
n=1 m=1
a n,m =
+∞∑
+∞∑
a n,m
m=1 n=1