Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 3. MARGFELDI MÁLRÚMA
3.2 Margfeldi tveggja mála
(3.6) Skilgreining Látum (X, X , µ) og (Y, Y, ν) vera málrúm og (X × Y, Z, π) vera
formálrúm þannig að X a × Y ⊆ Z. Við segjum að π sé margfeldi µ og ν eða margfeldismál
µ og ν ef
π(E × F ) = µ(E)ν(F ),
E ∈ X , F ∈ Y
(3.7) Setning Til er nákvæmlega eitt formál á X a × Y sem er margfeldismál µ og ν.
Við táknum það með µ a × ν.
Sönnun. Skv. hjálparsetningu (3.4) má skrifa sérhvert E ∈ X a ×Y sem E = ⋃ m
j=1 C j ×D j
þar sem Cj ∈ X , D j ∈ Y og C j × D j eru sundurlæg. Við setjum
π(E) =
m∑
µ(C j )ν(D j )
j=1
Við verðum að sýna fram á að π sé vel skilgreint með þessari formúlu. Tökum því aðra
framsetningu E = ⋃ n
j=1 A j × B j þar sem A j ∈ X, B j ∈ Y og A j × B j eru sundurlæg.
Við þurfum að sýna að
n∑
µ(A j )ν(B j ) =
j=1
m∑
µ(C j )ν(D j )
Athugum að χ A×B (x, y) = χ A (x)χ B (y) gildir um öll mengi A × B ⊆ X × Y. Ef mengi
A j eru sundurlæg, þá er χ S A j
= ∑ χ Aj . Af þessu tvennu leiðir:
j
n∑
χ Aj (x)χ Bj (y) =
j=1
Festum x og heildum m.t.t. ν
=
j=1
n∑
χ Aj ×B j
(x, y) = χ E
j=1
m∑
χ Cj ×D j
(x, y) =
j=1
n∑
χ Aj (x)ν(B j ) =
j=1
Nú heildum við m.t.t. µ og fáum
n∑
µ(A j )ν(B j ) =
j=1
m∑
χ Cj (x)χ Dj (y)
j=1
m∑
χ Cj (x)ν(D j )
j=1
m∑
µ(C j )ν(D j )
Ljóst er að π(∅) = 0 og að π tekur gildi í [0, +∞]. Látum nú E j vera sundurlæg mengi
í X × a Y og gerum ráð fyrir að E = ⋃ +∞
j=1 E j ∈ X × a Y. Við þurfum að sýna að π(E) =
+∞∑
j=1
π(E j ).
j=1
35