Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 5. ALSAMFELLD MÁL
Þar sem λ(∅) = 0, þá fæst að α ≥ 0. Veljum runu (A j ) þ.a. λ(A j ) → α og A j jákvæð.
Megum g.r.f. að (A j ) sé vaxandi því hjálparsetn. 5.4(ii) segir að ⋃ +∞
i=1 A i sé jákvætt.
Setjum
Þá fæst
j=1
B k = A k og B j = A j \
⎛ ⎞ ⎛
k⋃
k⋃
λ ⎝ A j
⎠ = λ ⎝
j=1
B j
⎞
⎠ =
k∑
j=1
k⋃
i=j+1
A i , j ∈ [1, k − 1]
λ(B j ) = λ(A k ) +jákvæð tala
Tökum nú P = ⋃ +∞
j=1 A j. Þá er P jákvætt skv. hs. 5.4(ii). Þurfum að sanna að N = P
sé neikvætt. Ef ′
N er ekki neikvætt, þá er til A ∈ X þ.a. A ⊆ N og λ(A) > 0. Skv. hs.
5.4(iii) er til Q ⊆ A, Q ∈ X þ.a. Q er jákvætt og λ(Q) ≥ λ(A). Skv. hs. 5.4(ii) er P ∪ Q
jákvætt, þar sem P ∩ Q = ∅. Þá er λ(P ∪ Q) = λ(P ) + λ(Q) > α. Mótsögn. □
(5.5) Skilgreining Ef λ er hleðsla á X, þá nefnist tvennd (P, N) af mælanlegum
mengjum Hahn-sundurliðun á X m.t.t. λ ef
(i) N = P
(ii) ′
P er jákvætt m.t.t. λ
(iii) N er neikvætt m.t.t. λ.
(5.6) Setning Ef (P 1 , N 1 ) og (P 2 , N 2 ) eru tvær Hahn-sundurliðanir á X m.t.t. λ, þá
er
λ(E ∩ P 1 ) = λ(E ∩ P 2 ) og λ(E ∩ N 1 ) = λ(E ∩ N 2 )
fyrir öll E ∈ X .
(5.7) Skilgreining Látum λ vera hleðslu á X og (P, N) vera Hahn-sundurliðun á
henni. Við skilgreinum þá málin λ + og λ − með
λ + (E) = λ(E ∩ P ) og λ − (E) = −λ(E ∩ N)
Þau nefnast jákvætt og neikvætt vik hleðslunnar λ. Málið
nefnist heildarvik hleðslunnar λ.
|λ| = λ + + λ −
(5.8) Athugasemd
(i) λ = λ + − λ −
(ii) |λ(E)| og |λ|(E) er sitt hvor hluturinn.
(5.9) Setning Fyrir sérhverja hleðslu λ gildir:
(i) |λ(E)| ≤ |λ|(E)
(ii) Ef λ = µ − ν þar sem µ og ν eru mál, þá er λ + ≤ µ og λ − ≤ ν.
(iii) Ef λ er endanleg hleðsla, þá er |λ| endanlegt mál.
(iv) Ef λ og τ eru hleðslur og λ + τ er vel skilgreind hleðsla, þá er
|λ + τ| ≤ |λ| + |τ|
55