Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
Ef f er fall f : X → R þar sem (X, X ) er mælanlegt rúm, þá segjum við að f sé
mælanlegt ef það er mælanlegt sem vörpun með B R í hlutverki Y. Því er f mælanlegt
þþaa f [−1] (U) sé mælanlegt fyrir sérhvert U ∈ B R .
(1.16) Athugasemd f : (X, X ) → (Y, Y) er mælanleg þþaa f [−1] (Y) ⊆ X.
Eftirfarandi setningar eru teknar fyrir í dæmum 1.3.5-7:
(1.17) Setning
(i) Ef Y er σ-algebra, þá er f [−1] (Y) einnig σ-algebra.
(ii) Ef X er σ-algebra á X, þá er
Y = {E ∈ P(Y ); f [−1] (E) ∈ X }
σ-algebra á Y .
(iii) Ef A ⊆ P(Y ), þá er (f [−1] (A)) σ = f [−1] (A σ ).
(1.18) Setning Eftirfarandi er jafngilt fyrir vörpun f : (X, X ) → (Y, Y):
(i) f er mælanleg.
(ii) f [−1] (Y) ⊆ X .
(iii) f [−1] (A) ⊆ X fyrir sérhvert A ⊆ P(Y ) þ.a. A σ = Y.
(iv) f [−1] (A) ⊆ X fyrir eitthvert A ⊆ P(Y ) þ.a. A σ = Y.
Við munum mest fást við mælanleg raungild föll og það reynist vera mikilvægt að hafa
marga möguleika til að velja A, þegar 1.18(iv) er beitt.
(1.19) Setning (Lýsing á B R ) B R = A σ , þar sem A er eitt mengjanna:
(i) A = {]α, +∞[; α ∈ R}
(ii) A = {[α, +∞[; α ∈ R}
(iii) A = {]−∞, α[; α ∈ R}
(iv) A = {]−∞, α]; α ∈ R}
(v) A = {]α, β[; α, β ∈ R, α ≤ β}
(vi) A = {[α, β]; α, β ∈ R, α ≤ β}
(1.20) Skilgreining Útvíkkaða talnalínan er
R = R ∪ {−∞, +∞}
þar sem −∞ og +∞ mega ekki tákna rauntölur.
Við skilgreinum grannmynstur á R með því að segja að mengi U ⊂ R sé opið ef það er
sammengi af mengjum af gerðinni
[−∞, α[, ]β, γ[, ]δ, +∞], α, β, γ, δ ∈ R
Við fáum þá Borel-algebru B R
á R.
4