Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
Höfum sannað að heildið ξ ↦→ ∫ e − 1 2 (x+iξ)2 dx er óháð ξ og jafnt √ 2π. Þar með er
ˆϕ(ξ) = e − 1 2 ξ2 .
♦
(8.4) Reiknireglur (1) Ef f ∈ L 1 (R), a ∈ R \ {0} og g(x) = f(ax), þá er
ĝ(ξ) = 1 ( )
|a| ˆf ξ
a
Þessa reglu má einnig skrifa
F{f(ax)}(ξ) = 1 ( ) ξ
|a| F{f} |a|
Með því að skipta á a og 1/a, þá fæst
{ 1
( x
) }
F
|a| f (ξ) = F{f}(aξ)
a
(2) Ef f ∈ L 1 (R), b ∈ R og g(x) = f(x − b), þá er
Þetta má einnig skrifa
ĝ(ξ) = e −ibξ ˆf(ξ)
F{f(· − b)}(ξ) = e −ibξ F{f}(ξ) .
(3) Ef f, g ∈ L 1 (R), þá er
þ.e.
̂f ∗ g(ξ) = ˆf(ξ)ĝ(ξ)
F{f ∗ g} = F{f}F{g} .
(4) Ef f, g ∈ L 1 (R), þá er ∫
Sönnun.
74
∫
fĝ dm =
(1) Þetta sést með beinum útreikningi
∫
ĝ(ξ) =
e −ixξ f(ax) dx = 1
|a|
(2) Þetta sést einnig með beinum reikningum
∫
ĝ(ξ) =
∫
e −ixξ f(x − b) dx =
(3) Þetta leiðir af setningu Fubinis og
̂f ∗ g(ξ) =
=
=
∫
ˆfg dm .
e −i(t/a)ξ f(t) dt = 1
|a| ˆf( ξ
|a| .
e −i(t+b)ξ f(t) dt = e −ibξ ˆf(ξ).
∫ (∫
)
e −ixξ f(x − y)g(y) dy dx
∫ (∫
)
e −ixξ f(x − y) dx g(y) dy
∫
e −iyξ ˆf(ξ)g(y) dy = ˆf(ξ)ĝ(ξ)