Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 4. L P -RÚM
Við setjum
g = |f n1 | +
k=1
Athugum nú að setningin um vaxandi samleitni og Minkovski ójafnan gefa að
( ∫ (
) 1/p
||g | | p = lim
N→+∞
= lim
N→+∞ || |f n 1
+
≤
lim ||f n 1
|| p +
N→+∞
≤ ||f n1 || p + 1
Þetta segira ða g ∈ L p (µ) og að röðin
sé samleitin n.a. Skilgreinum
f n1 +
+∞∑
|f n1 | +
+∞∑
k=1
|f nk+1 − f nk |
p
N∑
|f nk+1 − f nk |)
dµ
k=1
N∑
|f nk+1 − f nk | || p
k=1
f(x) = f n1 (x) +
N∑
||f nk+1 − f nk || p
k=1
(f nk+1 − f nk )
+∞∑
k=1
f nk+1 (x) − f nk
í punktum x þar sem röðin er samleitin og f(x) = 0 í öðrum punktum x. Þá er f
mælanlegt, |f| ≤ g og þar með f ∈ L p (µ).
Nú er
+∞∑
f = f nj + (f nk+1 − f nk ) n.a.
og því er
k=j
|f − f nj | ≤
+∞∑
k=j
|f nk+1 − f nk |
Af þessu leiðir að
f nj → f í L p (µ) ef j → +∞
Caucy-runan (f n ) hefur hlutrunu sem stefnir á f. Hún er því samleitin með markgildið
f.
Gerum nú ráð fyrir að p = +∞. Fyrir j, k = 1, 2, 3, . . . skilgreinum við
A k = {x | |f k (x)| > ||f k || ∞ }
B j,k = {x | |f j (x) − f k (x)| > ||f j − f k || ∞ }
Allt eru þetta núllmengi og sammengi þeirra N er einnig núllmengi. Á menginu X \ N
er (f n ) Cauchy-runa í j.m. Hún hefur þá markgildi f(x) í sérhverjum punkti x ∈ X \ N
og samleitnin er í jöfnum mæli. Við setjum f(x) = 0 á x ∈ N og fáum þá að f n → f í
L ∞ (µ).
□
50