Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

(6.5) Setning EF p ∈]1, +∞], á er vörpunin
KAFLI 6. TVÍRÚM (NYKURRÚM) L P -RÚMA
Φ p : L q (µ) → L p (µ) ∗ ,
g ↦→ G g
einsrðun, þ.e. ||g|| q = ||G g || p . Ef µ er σ-endanlegt þá gildir þetta einnig um p = 1.
Sönnun. Með því að skipta á g og g/||g|| q má gera ráð fyrir að ||g|| q = 1. Vitum að
||G g || ≤ 1. Þurfum bara að sanna að ||G g || = 1.
(1) Látum p ∈]1, ∞[. Skilgreinum
Þá er f mælanlegt og
∫
Nú er
f =
∫
|f| p dµ =
{ 0 g(x) = 0
|g(x)| q
g(x)
g(x) ≠ 0
∫
|g| pq−p dµ =
∫
||G g || ≥ |G g (f)| =
|g| q dµ
|g| 1 dµ = 1 .
(2) Ef p = ∞, þá skilgreinum við f eins og áður. Þá er ||f|| ∞ = 1 og
∫
||G g || ≥ |G g (f)| =
|g| dµ = 1
(3) G.r.f. að X sé σ-endanlegt og p = 1. Þá er q = ∞. Tökum ε > 0 og skilgreinum
A ε = {x ∈ X | 1 − ε ≤ |g(x)| ≤ 1}
Fyrst ||g||∞ = 1, þá er µ(A ε ) > 0. Við gætum haft µ(A ε ) = +∞. Fyrst X er
σ-endanlegt, þá er til B ε ⊆ A ε þannig að 0 < µ(B ε ) < +∞. Við skilgreinum
f = 1 g χ B ε
Þá er f ∈ L 1 (µ), ||f|| 1 > 0. Við höfum þá að
Þar með er
∫
||G g (f)|| =
∣
∫
fg dµ
∣ ≥ (1 − ε)
|f| dµ = (1 − ε)||f|| 1
(1 − ε) ≤ ||G g || = sup{ |G g(f)|
||f|| 1
| f ∈ L 1 (µ), ||f|| 1 ≠ 0} .
□
(6.6) Setning (Riesz-framsetning á L p (µ)) Látum p ∈ [1, ∞[, q ∈]1, ∞]. Ef p > 1
eða p = 1 og X er σ-endanlegt, þá er sérhvert stak G ∈ L p (µ) ∗ af gerðinni G g þar sem
g ∈ L q (µ).
Sönnun.
63