Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

Kai 6
Tvírúm (nykurrúm) L p -rúma
(6.1) Skilgreining Látum F vera R eða C og V vera vigurrúm yr F. Línuleg vörpun
f : V → F nefnist línulegt felli.
(6.2) Setning Látum f vera línulegt felli á staðalrúmi (V, || · ||), þá er eftirfarandi
jafngilt:
(1) f er samfellt í j.m. á V .
(2) f er samfellt á V .
(3) f er samfellt í einhverjum punkti x ∈ V .
(4) f er samfellt í 0.
(5) Til er δ > 0 þannig að |f(x)| ≤ 1 ef ||x|| ≤ δ.
(6) Til er M > 0 þannig að
|f(x)| ≤ M||x||,
(7) f er takmarkað á einingarkúlunni {x | ||x|| ≤ 1}.
(8) f er takmarkað á einingarhvelinu {x | ||x|| = 1}.
x ∈ V
(6.3) Skilgreining og setning Mengi allra samfelldra línulegra fella á (V, || · ||) er vigurrúm
með aðgerðunum
V × V ∋ (f, g) ↦→ f + g ∈ V
F × V ∋ (c, f) ↦→ cf ∈ V
Þetta rúm nefnist tvírúm V eða nykurrúm V og er táknað með V ∗ (eða V ′ ) eða
L(V, F).
V ∗ er staðalrúm með staðli
||f|| = sup{|f(x)| | x ∈ V, ||x|| ≤ 1}
(6.4) Setning f(V, || · ||) er staðalrúm, þá er V ∗ Banach-rúm.
Munum að staðalrúm (V, || · ||) er sagt vera Banach-rúm ef rðin
gerir V að fullkomnu rðrúmi.
(x, y) ↦→ ||x − y||
61