Mál- og tegurfræði - Háskóli Ãslands
Mál- og tegurfræði - Háskóli Ãslands
Mál- og tegurfræði - Háskóli Ãslands
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
KAFLI 6. TVÍRÚM (NYKURRÚM) L P -RÚMA<br />
Þá er<br />
|f n | ≤ n q−1<br />
<strong>og</strong> þar með f n ∈ L p (µ) (því µ er endanlegt). Við fáum nú<br />
||f n || p p =<br />
∫<br />
X<br />
∫<br />
fn p dµ =<br />
X<br />
∫<br />
χ En g pq−p dµ =<br />
= G(f n ) ≤ ||G|| ||f n || p<br />
Af þessu leiðir að<br />
||f n || p<br />
p−1 ≤ ||G||<br />
Þar með er runan (f n ) takmörkuð í L p (µ). Nú er<br />
||f n || p p =∈ χ En g q dµ<br />
<strong>og</strong> runan χ En g q er vaxandi <strong>og</strong> þar með er<br />
∫<br />
g q dµ < +∞ .<br />
∫<br />
χ En g q dµ =<br />
f n g dµ<br />
(3) Næsta skref væri að skoða σ-endanlegt mál µ . . . □<br />
66