Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

2.1 Eiginleikar Lebesgue-málsins á R
KAFLI 2. LEBESGUE-MÁLIÐ Á R
Látum F tákna meni allra endanlegra sammengja af stöðluðum bilum,
Þá er
]−∞, a], ]a, b], ]b, +∞[ .
Höfum þá
l(E) = b − a, E =]a, b], a, b ∈ R
l(E) = +∞
m∑
l(E) =
j=1
l ∗ : P(R) → [0, +∞],
ef E er ótamkmarkað bil
l(E j ) ef E =
m⋃
E j ,
j=1
⎧
⎨
l ∗ (E) = inf
⎩
+∞∑
j=1
E j eru sundurlæg stöðluð bil
l(E j ) | E =
F ∗ nefnist Lebesgue-algebran á R. Við táknum hana með M.
l ∗ | M nefnist Lebesgue-málið á R og við táknum það með m.
(2.9) Setning
(1) l ∗ (B) = inf {m(G) | G er opið og B ⊆ G} fyrir B ⊆ R.
(2) m(E) = sup {m(K) | K er þjappað og K ⊆ E} fyrir E ∈ M.
+∞ ⋃
j=1
E j , E j stöðluð bil
Sönnun.
(1) Augljóst ef l ∗ (B) = +∞. Ef l ∗ (B) < +∞, þá tökum við stöðluð vil E j þannig að
⎫
⎬
⎭
+∞∑
n=1
l ∗ (E n ) ≤ l ∗ (B) + ε
Bilin E n eru endanleg, E n =]a n , b n ]. Setjum
Þá er B ⊆ G og
m(G) ≤
≤
G =
+∞∑
+∞ ⋃
n=1
]a n , b n + ε/2 n [
(b n + ε/2 n − a n ) =
+∞∑
n=1
n=1
l ∗ (B) + 2ε
l(E n ) + ε
Þar sem ε > 0 getur verið hvaða tala sem er, þá gefur þetta að
l ∗ (B) = inf {m(G) | G opið og B ⊆ G}
27