Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 3. MARGFELDI MÁLRÚMA
Sýnum að E er σ-algebra sem inninheldur öll A × B með A ∈ X og B ∈ Y.
Hjálparsetning 3.11 gefur að E er σ-algebra.
Við höfum
(A × B) x =
{
B x ∈ A
∅
x ∉ A
Af þessu leiðir að A × B ∈ E fyrir öll A ∈ X og B ∈ Y. Þar með er X σ × Y ⊆ E.
(2) Til þess að sýna að f x sé Y-mælanlegt, þá dugir að sanna:
{y ∈ Y | f x (y) > α} ∈ Y
Nú er
{y ∈ Y | f x (y) > α} = {(x, y) ∈ X × Y | f(x, y) > α} x
Höfum að {(x, y) | f(x, y) > α} x ∈ Y skv. (1). Því er f x Y-mælanlegt.
□
(3.13) Setning (Tonelli) Látum (X, X , µ) og (Y, Y, ν) vera σ-endanleg málrúm og
F : X × Y → R + vera (X σ × Y)-mælanlegt fall. Þá eru föllin
og
mælanleg og
Við skrifum þetta einnig
∫
X×Y
∫
F d(µ × ν) =
∫
X ∋ x ↦→ f(x) =
∫
Y ∋ y ↦→ g(y) =
∫
X
X×Y
(∫
Athugum sértilfellið ef F er kennifall:
Y
Y
X
∫
F x dν =
∫
F y dµ =
∫
F d(µ × ν) =
X
Y
X
∫
f dµ =
F (x, y) dν(y)
F (x, y) dµ(x)
Y
g dν
) ∫ (∫
)
F (x, y) dν(y) dµ(x) = F (x, y) dµ(x) dν(y)
Y X
(3.14) Hjálparsetning (Setning Tonellis fyrir kenniföll) Gerum ráð fyrir að (X, X , µ)
og (Y, Y, ν) séu σ-endanleg og að E ∈ X σ × Y. Þá er fallið
ν(E (·) ), x ↦→ ν(E x )
X -mælanlegt og fallið
µ(E (·) ), y ↦→ µ(E y )
Y-mælanlegt og ∫
∫
ν(E (·) ) dµ = (µ × ν)(E) =
X
Y
µ(E (·) ) dν
39