Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
(4) Af setningu Riemanns og Lebesgues leiðir að föllin ˆf og ĝ eru samfelld og takmörkuð.
Þar með eru bæði föllin fĝ og ˆfg í L 1 . Skv. Fubini er
∫
fĝ dm =
=
=
∫ ∫
f(x)
∫∫
e −ixy g(y) dy dx
e −ixy f(x)g/y) dx dy
R
∫ (∫
2 ) ∫
e −ixy f(x) dx g(y) dy =
ˆfg dm
(8.5) Dæmi Látum ϕ µ,σ vera þéttifall normlegrar dreifngar með væntigildi µ og staðalfrávik
σ,
Reiknireglur 1 og 2 gefa
ϕ µ,σ (x) = 1 √
2πσ
e − 1 2 ((x−µ)/σ)2
{ } 1
Fϕ µ,σ (ξ) = F √ e − 1 2 ((x−µ)/σ)2 (ξ)
2πσ
{ } 1
= e −iµξ F √ e − 1 2 (x/σ)2 (ξ)
2πσ
{ } 1
= e −iµξ F √ e − 1 2 x2 (σξ)
2π
= e −iµξ− 1 2 σ2 ξ 2 ♦
□
(8.6) Setning (Andhverfuformúla Fouriers) Látum f ∈ L 1 (R) og gerum ráð fyrir að
ˆf ∈ L 1 (R). Þá gildir um næstum öll x ∈ R að
f(x) = 1
2π ∈ eixξ ˆf(ξ dξ =
1
2π FF(−x)
Ef f ∈ L ∞ (R), þá gildir formúlan í öllum punktum þar sem f er samfellt.
Sönnun. Munum að ef f, ϕ ∈ L 1 (R), ϕ ≥ 0, ϕ ε (x) = 1 ε ϕ( x ε
), þá fæst að
og ef f ∈ L ∞ (R), þá fæst að
f ∗ ϕ ε → f
Veljum ϕ(x) = √ 1
2π
exp(− 1 2
). Þá er x2
f ∗ ϕ ε → f í L 1
ef f er samfellt í x
Lítum nú á földunina
ˆϕ(ξ) = e − 1 2 ξ2 og ˆϕ ε (ξ) = e − 1 2 ε2 ξ 2
∫
∫
f ∗ ϕ ε (x) = f(x − y)ϕ ε (y) dy = f(−(y − x))ϕ ε (y) dy
= 1 ∫
f(−(y − x))
2π
ˆψ ε (y) dy ψ ε(x)=exp(− 1 2 ε2 x 2 )
75