Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 3. MARGFELDI MÁLRÚMA
Skv. (3.4) er
E =
m⋃
C j × D j ,
j=1
og C j × D j eru sundurlæg. Eins höfum við að
E j =
k j
C j ∈ X , D j ∈ Y
⋃
(A j k × Bj k )
k=1
þar sem A j k ∈ X, Bj k ∈ Y og Aj k × Bj k
eru sundurlæg. Við höfum því framsetningu á E:
+∞ ⋃
k j
⋃
j=1 k=1
m A j k × Bj k = E = ⋃
C j × D j
þar sem A j k × Bj k
eru sundurlæg, j = 1, 2, . . . og k = 1, 2, . . . , k j , og kennifallið fyrir
sammengi þeirra er
+∞∑
k j
∑
j=1 k=1
χ A
j
k
(x)χ B
j (y) =
k
Við festum x og heildum m.t.t. ν og fáum
k +∞∑ ∑ j
χ A
j
k
j=1 k=1
síðan heildum við m.t.t. µ og fáum
j=1
m∑
χ Cj (x)χ Dj (y)
j=1
m
(x)ν(B j k ) = ∑
χ Cj (x)ν(D j )
j=1
Nú er
og
Við höfum því sannað að
+∞∑
k j
∑
m µ(A j k )ν(Bj k ) = ∑
µ(C j )ν(D j )
j=1 k=1
j=1
k j
∑
µ(A j k )ν(Bj k ) = π(E j)
k=1
m ∑
j=1
µ(C j )ν(D j ) = π(E)
+∞∑
j=1
π(E j ) = π(E)
□
Nú erum við komin með formálsrúm
36
(X × Y, X a × Y, µ a × ν)