Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

(1.57) Setning G.r.f. að
(1) til sé t 0 ∈ [a, b] þ.a. f(·, t) ∈ L(X, X , µ)
(2) ∂f
∂t
(x, t) sé til fyrir öll (x, t) ∈ X × [a, b]
(3) til sé g ∈ L(X, X , µ) þ.a.
∣ ∂f ∣∣∣
∣ ∂t (·, t) ≤ g, fyrir öll t ∈ [a, b]
Þá gildir:
(i) f(·, t) ∈
∣
L(X, X , µ) fyrir öll t ∈ [a, b]
(ii) ∣ ∂f ∣∣
∂t (·, t) ∈ L(X, X , µ) fyrir öll t ∈ [a, b]
(iii) Fallið F er deildanlegt á [a, b] og
∫
F ′ ∂f
(t) = (x, t dµ(x)
∂t
KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
Sönnun. Ef t ∈ [a, b] þá er til runa (t n ) í [a, b] sem stefnir á t og því fæst
fyrir öll x ∈ X. Því er ∂f
∂t
x) milli t og t 0 þ.a.
Af þessu leiðir að
∂f
(x, t) =
∂t lim f(x, t n ) − f(x, t)
n→+∞ t n − t
X
(·, t) mælanlegt fall. Meðalgildissetningin gefur að til er τ (háð
f(x, t) = f(x, t 0 ) + (t − t 0 ) ∂f (x, τ)
∂t
|f(x, t)| ≤ |f(x, t 0 )| + (b − a)g(x)
Þar sem hægri hliðin er heildanlegt fall af x, þa gildir (i). Fyrst ∂f
∂t
(·, t) er mælanlegt, þá
leiðir (ii) af (3). Til þess að sanna (iii) beitum við setningu Lebesgues á
F (t n ) − F (t)
t n − t
∫
=
X
( )
f(x, tn ) − f(x, t)
dµ(x)
t n − t
en til þess þurfum við takmörkun á heildisstofninn. Meðalgildissetningin gefur að til er
τ n a'milli t og t n þ.a.
f(x, t n ) − f(x, t)
t n − t
= ∂f
∂t (x, τ n)
(Athguum að τ n er háð x). Nú gefur (3) að við megum skipta á markgildi og heildi með
því að beita setningu Lebesgue,
F (t n ) − F (t)
lim
=
n→+∞ t n − t
∫
X
f(x, t n ) − f(x, t)
lim
dµ(x) =
n→+∞ t n − t
Þar sem (t n ) er ótiltekin runa sem stefnir á t, þá fæst (iii).
∫
X
∂f
(x, t) dµ(x)
∂t
(1.58) Skilgreining Látum (X, X , µ) vera málrúm, (Y, Y) mælanlegt rúm og f : X →
Y mælanlega vörpun. Þá getum við skilgreint mál á Y með formúlunni
(f ∗ µ)(A) = µ(f [−1] (A)), A ∈ Y
Það nefnist myndmál µ við vörpunina f. Einnig táknað µ f .
□
19