Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 8. FOURIER-UMMYNDUN
er heildanlegt m.t.t. margfeldismálsins |µ| × |ν| og við fáum
∫
ˆν(ξ) dµ(ξ) =
=
∫ (∫
∫
) ∫ (∫
e −ixξ dν(x) dµ(ξ) =
ˆµ(x) dν(x)
)
e −ixξ dµ(ξ) dν(x)
Tökum ϕ ∈ L 1 (R) ∩ C(R) með ˆϕ ∈ L 1 (R). Þá segir andhverfuformúla Fouriers að
Það gefur
∫
ϕ(x) = 1
2π
ˆϕ(−x),
ϕ dµ = 1
2π ∈ ˆϕ(−x) dµ(x) = 1 ∫
2π
x ∈ R
ˆϕ(ξ)ˆµ(ξ) dm(ξ)
Nú viljum við ákvarða µ([a, b]) út frá ˆµ og því viljum við setja χ [a,b] í stað ϕ.
Lítum á
̂χ [a,b] (ξ) =
∫ b
a
e −ixξ dx = e−ibξ − e −iaξ
−iξ
Veljum nú ψ ∈ L 1 (R) ∩ C(R) með ∫ ψ dm = 1 og ˆψ ∈ L 1 (R) (t.d. ψ(x) = √ 1
2π
e − 1 2 ).
Setjum
x2 ψ ε (x) = 1 ( x
)
ε ψ og ϕ ε (x) = χ
ε
[a,b] ∗ ψ ε (x)
Höfum að
ϕ ε (x) → χ [a,b] (x)
í öllum punktum x ∈ R, nema a og b. Nú fáum við
og
ϕ ε (b) =
Nú setjum við
Þá er
82
=
∫
χ [a,b] (y)ψ ε (b − y) dy =
R
∫ (b−a)/ε
0
ϕ ε (a) =
=
∫ b
a
∫ 0
ψ(t) dt −→
∫ ∞
0
ψ ε (a − y) dy =
−(b−a)/ε
ψ(t) dt −→
α =
∫ ∞
0
∫ b
a
ψ ε (b − y) dy =
ψ(t) dt ef ε → 0
∫ 0
−(b−a)
∫ 0
−∞
ψ(t) dt
ψ ε (t) dt
∫ b−a
ψ(t) dt ef ε → 0
ϕ ε (x) −→ χ ]a,b[ (x) + (1 − α)χ {a} (x) + αχ {b} (x)
0
ψ ε (t) dt