Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
[ k
2 n , k+1
2 n [
Skilgreinum mengin
Skilgreinum
E n,k
E n,k = f [−1] ([ k
2 n , k + 1
2 n [)
, k = 0, 1, 2, . . . , n2 n − 1
E n,k = f [−1] ([ k + 1
2 n , +∞ ])
, k = n2 n
ϕ n =
n2 n
∑
k=0
k
2 n χ E n,k
□
1.3 Málrúm
(1.38) Skilgreining Látum X vera σ-algebru á X, þ.e.a.s. (X, X ) er mælanlegt rúm.
Mál er fall µ : X → R sem uppfyllir:
(i) µ(∅) = 0
(ii) µ ≥ 0
(iii) Ef (E j ) er runa af sundurlægum mengjum í X, þá er
⎛
µ ⎝
+∞ ⋃
j=1
⎞
+∞∑
E j
⎠ = µ(E j )
j=1
Ef E, F ∈ X, E ⊆ F, þá er
og
F = E ∪ F \ E
E ∩ (F \ E) = ∅
9