Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 7. FÖLDUN
|f ∗ g(x)| =
∫
∣ f(x − y)g(y) dy
∣
∫
∫
≤ |f(x − y)g(y)| dy +
I
f(x − y)g(y)| dy
I ′
≤ ||f(x − ·)χ I || p ||g|| q + ||f(x − ·)|| p ||gχ I ′|| q
≤ ||fχ I ′|| p ||g|| q + ||f|| p ||gχ I ′|| q
≤ ε||g|| q + ||f|| p ε = (||f|| p + ||g|| q )ε □
Ef |x| > 2a og y ∈ I, þá er x − y ∈ I ′ . Nú,
(7.5) Setning (Öfuga Hölder ójafnan) Látum (X, X , µ) vera σ-endanlegt málrúm, p ∈
]1, ∞[, q ∈]1, ∞[, 1 1 p + 1 q
= 1. Gerum ráð fyrir að f sé mælanlegt, V sé þétt hlutrúm í
L 1 (µ) og ril sé fasti M þannig að
∫
∣ fg dµ
∣ ≤ M||g|| q, g ∈ V (7.1)
Þá er f ∈ L p (µ) og ||f|| p ≤ M.
Sönnun. Látum X n vera vaxandi runu af mælanlegum mengjum þannig að ⋃ X n = X
og µ(X n ) < ∞. Setjum
E n = {x ∈ X n | |f(x)| ≤ n} og f n = χ En f
Þá er f n ∈ L p (µ).
Fyrst þurfum við að sanna að
∫
∣
f n g dµ ∣
∣ ≤ M||g|| q ∀g ∈ L q (µ) (7.2)
Látum g ∈ L q (µ) og (g j ) vera runu í V þannig að g j → g í L q (µ). Nú gefur Hölder að
∫
∣
Þar með fæst að
Nú er
∫
f n g j dµ −
∫
f n g dµ
∣ ≤ ||f n|| p ||g j − g|| q → 0
∫
f n g j dµ →
∣ ∣∣∣
∫
f n g dµ,
f n G j dµ
∣ ≤ M||g j|| q ,
svo ef við höfum markgildi báðum megin, þá fæst (7.2).
j → ∞
∀j
ef j → ∞
□
Nú segir (7.2) að línulega fellið á L q (µ)
∫
g ↦→
f n g dµ
69