Mál- og tegurfræði - Háskóli Íslands

KAFLI 1. FRUMATRIÐI UM MÁLRÚM
(1.10) Skilgreining Mælanlegt rúm er mengi X ásamt σ-algebru X á X. Oft
skrifað sem par: (X, X ).
(1.11) Skilgreining Grannmynstur á X er hlutmengi T ∈ P(X) sem uppfyllir:
(i) ∅, X ∈ T .
(ii) Ef I er mengi, A i ∈ T , i ∈ I, þá er ⋃ i∈I A i ∈ T .
(iii) Ef I er endanlegt mengi, A i ∈ T , i ∈ I, þá er ⋂ i∈I A i ∈ T .
Grannrúm er mengi X með grannmynstri T .
(1.12) Dæmi Ef (X, d) er rðrúm og við látum T vera safn allra opinna mengja á X,
þá er T grannmynstur á X.
(1.13) Skilgreining Borel-algebran á grannrúmi (X, T ) er minnsta σ-algebran
sem inniheldur T ,
B X = B (X,T ) = T σ
(1.14) Dæmi X = R, þá er Borel-algebran á R minnsta σ-algebran sem inniheldur
öll opin mengi. Eins má segja að B R sé minnsta σ-algebran sem inniheldur öll opin bil
]α, β[, α, β ∈ R, α ≤ β (Ath ]0, 0[= ∅). ♦
♦
1.2 Varpanir
Látum nú X og Y vera tvö mengi og
f : X → Y
vera vörpun. Vörpunin f gefur af sér a.m.k. tvær mengjavarpanir:
Ef A ⊆ P(X), þá er
Ef B ⊆ P(Y ), þá er
f : P(X) → P(Y )
f(A) = {f(x); x ∈ A}
f [−1] : P(Y ) → P(X)
f [−1] (B) = {x ∈ X; f(x) ∈ B}
}
}
f(A) = {f(A); A ∈ A} ⊆ P(Y )
mynd
f [−1] (B) = {f [−1] (B); B ∈ B} ⊆ P(X)
frummynd
(1.15) Skilgreining Mælanleg vörpun f : X → Y millimælanlegrarúma (X, X )
og (Y, Y) er vörpun sem uppfyllir
f [−1] (B) ∈ X , B ∈ Y.
3